algorithm - 快速计算具有最小汉明距离的对

Question

问题

假设您有 N (~100k-1m) 个整数/位串，每个长 K(例如 256)位。该算法应返回成对汉明距离最小的 k 对。

例子

N = 4
K = 8
i1 = 00010011
i2 = 01010101
i3 = 11000000
i4 = 11000011


HammingDistance(i1,i2) = 3
HammingDistance(i1,i3) = 5
HammingDistance(i1,i4) = 3
HammingDistance(i2,i3) = 4
HammingDistance(i2,i4) = 4
HammingDistance(i3,i4) = 2

对于 k=1，它应该返回配对列表 {(i3,i4)}。对于 k=3，它应该返回 {(i1,i2), (i1,i4), (i3,i4)}。等等。

算法

朴素的实现计算所有成对距离，对成对排序并返回距离最小的 k:O(N^2)。有没有更好的数据结构或算法？看起来像来自 Efficiently find binary strings with low Hamming distance in large set 的想法不能使用，因为没有单个查询整数。

Answer 1

最近的论文“The Closest Pair Problem under the Hamming Metric”只有涉及 n^2 因子的算法(除非 K 非常大)。即使只找到一对也是如此。因此，除非您对实例的结构做出进一步的假设，否则似乎很难对此进行改进。比如你假设汉明距离不是很大，你可以采样几列，在假设这些列完全匹配的情况下，根据这些将字符串散列到桶中，然后在每个桶中分别进行两两比较。对另一组随机列重复此操作，以最大限度地减少您错过某些对的可能性。