algorithm - O(1)+O(2)+ .... +O(n) 的阶和

Question

总和 O(1)+O(2)+ .... +O(n) 的计算结果是什么？

我在某处看到它的解决方案:

O(n(n+1) / 2) = O(n^2)

但我对此并不满意，因为 O(1) = O(2) = constant，所以根据我的说法，它的计算结果必须仅为 O(n) .我在 Cormen 也看到过这个:

Σ(i=1 to n) O(i)

在上面的表达式中只有一个匿名函数。此函数与 O(1) + O(2) + ... + O(n) 不同，后者实际上没有清晰的解释。

Answer 1

这个问题似乎非常切合主题，因为有一个标签 asymptotic_complexity ...

根据 CLRS ，页。 49、

“表达式中匿名函数的个数理解为等于渐近符号出现的次数。例如，在表达式中

sum(O(i), i=1..n)

只有一个匿名函数(i 的函数)。因此，这个表达式与 O(1) + O(2) + ... + O(n) 不同，后者实际上没有清晰的解释”

实际上，在你的公式中，“O”符号后面的常数可能都是不同的，它们的增长可能会改变整个和的渐近行为。不要写这个!

---

为了更完整地回答您的问题，在 sum(O(i), i=1..n) 中，您可以使用以下事实(参见 GKP 第 450 页)

O(f(n)g(n)) = f(n) O(g(n))

因此，O(i) = i O(1)，这次在您的公式中使用相同的 O(1)。因此，

sum(O(i), i=1..n) = sum(i, i=1, n) O(1)

=n(n+1)/2 O(1) = O(n^2)

这样你就可以毫不费力地消除你的总和。