algorithm - 使用加、减和减半计算三角根

Question

特定游戏的规则是角色的力量与 triangular root 成正比。角色的经历。比如15-20经验5力量，21-27经验6力量，28-35经验7力量等等。有些玩家的经验值已经上千亿了。

我试图在只有三个算术指令的 8 位机器上实现这个游戏:加、减和除以 2。例如，要将一个数乘以 4，程序会将它与自身相加两次.一般乘法要慢得多；我已经编写了一个软件子例程来使用四分之一方形表来完成它。

我曾考虑通过 bisection search 计算三角根 T(p)对于从上方和下方限定经验数的连续三角形数。我的计划是使用 T(2*p) 的递归标识，直到它超出经验，然后将其用作二分搜索的上限。但是我在不使用 x*y 或 的二等分中找不到 T((x+y)/2) 的身份(x+y)^2.

是否有一种有效的算法可以通过加、减和减半来计算一个数的三角根？还是我最终不得不执行 O(log n) 次乘法，一次计算二分搜索中的每个中点？或者考虑实现长除法以使用牛顿法会更好吗？

T(x)的定义:

T(x) = (n * (n + 1))/2

我得出的身份:

T(2*x) = 4*T(x) - x
# e.g. T(5) = 15, T(10) = 4*15 - 5 = 55

T(x/2) = (T(x) + x/2)/4
# e.g. T(10) = 55, T(5) = (55 + 5)/4 = 15

T(x + y) = T(x) + T(y) + x*y
# e.g. T(3) = 6, T(7) = 28, T(10) = 6 + 28 + 21 = 55

T((x + y)/2) = (T(x) + T(y) + x*y + (x + y)/2)/4
# e.g. T(3) = 6, T(7) = 28, T(5) = (6 + 28 + 21 + 10/2)/4 = 15

Answer 1

进行二分搜索，但要确保 y - x 始终是 2 的幂。 (这不会增加渐近运行时间。)然后 T((x + y)/2) = T(x) + T(h) + x * h，其中 h 是 2 的幂，所以 x * h 可以通过移位计算。

这是一个 Python 概念验证(仓促编写，或多或少未优化但避免了昂贵的操作)。

def tri(n):
    return ((n * (n + 1)) >> 1)

def triroot(t):
    y = 1
    ty = 1

    # Find a starting point for bisection search by doubling y using
    # the identity T(2*y) = 4*T(y) - y. Stop when T(y) exceeds t.
    # At the end, x = 2*y, tx = T(x), and ty = T(y).
    while (ty <= t):
        assert (ty == tri(y))
        tx = ty
        ty += ty
        ty += ty
        ty -= y
        x = y
        y += y

    # Now do bisection search on the interval [x .. x + h),
    # using these identities:
    # T(x + h) = T(x) + T(h) + x*h
    # T(h/2) = (T(h) + h/2)/4
    th = tx
    h = x
    x_times_h = ((tx + tx) - x)
    while True:
        assert (tx == tri(x))
        assert (x_times_h == (x * h))

        # Divide h by 2
        h >>= 1
        x_times_h >>= 1
        if (not h):
            break
        th += h
        th >>= 1
        th >>= 1

        # Calculate the midpoint of the search interval
        tz = ((tx + th) + x_times_h)
        z = (x + h)
        assert (tz == tri(z))

        # If the midpoint is below the target, move the lower bound
        # of the search interval up to the midpoint
        if (t >= tz):
            tx = tz
            x = z
            x_times_h += ((th + th) - h)
    return x
for q in range(1, 100):
    p = triroot(q)
    assert (tri(p) <= q < tri((p + 1)))
    print(q, p)