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假设我们有n个元素,a1,a2, ...,an,排列成一个圆圈。即a2介于a1和a3之间,a3介于a2和a之间>4,an介于an-1 和 a1,等等。
每个元素的值可以是 1 或 0。如果有相应的 ai 的值,则两种排列是不同的不同。例如,当 n=3 时,(1, 0, 0) 和 (0, 1, 0) 是不同的排列,即使它们在旋转或反射下可能是同构的。
因为有n个元素,每个元素可以取两个值,所以总排列数为2n。
这里是问题:
有多少种可能的排列方式,使得没有两个相邻元素的值都为 1?如果有帮助,请仅考虑 n>3 的情况。
我问这里有几个原因:
最佳答案
我们先问“有多少个长度为n且没有连续两个1的0-1序列?”设答案为 A(n)。我们有 A(0)=1(空序列)、A(1)=2(“0”和“1”)和 A(2)=3(“00”、“01”和“10”,但是不是“11”)。
为了更容易编写循环,我们将 A(n) 计算为两个数字的总和:
B(n),以0结尾的序列的个数,以及
C(n),以 1 结尾的此类序列的数量。
那么B(n) = A(n-1)(取任何这样的长度为n-1的序列,并附加一个0)
和 C(n) = B(n-1)(因为如果你在位置 n 有一个 1,你必须在 n-1 有一个 0。)
这给出 A(n) = B(n) + C(n) = A(n-1) + B(n-1) = A(n-1) + A(n-2)。现在应该很熟悉了:-)
A(n) 就是斐波那契数 Fn+2,其中斐波那契数列定义为
F0=0, F 1=1,且 Fn+2= Fn+1+Fn 对于 n ≥ 0。
现在回答你的问题。我们分别统计a1=0和a1=1的排列数。对于前者,a2 … an 可以是任何序列(没有连续的 1),所以数是 A(n-1)=Fn+1。对于后者,我们必须有 a2=0,然后 a3...an 是任何没有连续 1 的序列 以 0 结尾,即 B(n-2)=A(n-3)=Fn-1。
所以答案是 Fn+1 + Fn-1。
实际上,我们可以比这个答案走得更远。请注意,如果您将答案称为
G(n)=Fn+1+Fn-1,则
G(n+1)=Fn+2+Fn,且
G(n+2)=Fn+3+Fn+1,所以即使G(n)也满足和斐波那契数列一样的递归! [实际上,类似斐波那契数列的任何线性组合都将满足相同的循环,所以这并不奇怪。]所以计算答案的另一种方法是使用:
G(2)=3
G(3)=4
对于 n≥4,G(n)=G(n-1)+G(n-2)。
现在您还可以使用 closed form Fn=(αn-βn)/(α-β)(其中α和β为(1±√5)/2、x2-x-1=0)的根,得到
G(n) = ((1+√5)/2)n + ((1-√5)/2)n。
[您可以忽略第二项,因为它对于大 n 非常接近 0,实际上 G(n) 是最接近 ((1+√5)/2)n 的整数/strong> 对于所有 n≥2。]
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