algorithm - 猜测一个无界整数

Question

如果我对你说:

“我在想一个0到n之间的数，我会告诉你你猜的是大还是小”，然后你会马上伸手去二分查找。

如果我删除上限会怎样？即我在想一个正整数，你需要猜一猜。

一种可能的方法是让您猜测 2、4、8，...，直到您猜测某个 k 为 2**k，我说“更低”。然后你可以应用二进制搜索。

有没有更快的方法？

编辑:

显然，任何解决方案所花费的时间都与目标数量的大小成正比。如果我通过 Ackermann 函数删除 Graham 的号码，无论您采取什么策略，我们都会等待一段时间。

我也可以提供这个算法:从 1 开始依次猜测每个整数。

它保证在有限的时间内完成，但它显然比我的“2 的幂”策略差得多。如果我能找到更差的算法(并且知道它更差)，那么也许我能找到更好的算法？

例如，也许我可以使用 10 的幂而不是 2 的幂。然后我在 log_10(n) 步中找到上限，而不是 log_2(n)步骤。但是我必须搜索更大的空间。说 k = ceil(log_10(n))。然后我需要 log_2(10**k - 10**(k-1)) 步进行二进制搜索，我猜这大约是 10+log_2(k) .对于 2 的幂，我的搜索阶段大致有 log_2(log_2(n)) 个步骤。哪个赢了？

如果我使用 n**n 向上搜索会怎样？还是其他顺序？谁能找到增长最快的序列，谁就会得到奖品？这是一个有答案的问题吗？

谢谢你的想法。对于那些建议我从 MAX_INT 或 2**32-1 开始的人，我深表歉意，因为我显然偏离了这里的实用性范围。

最终编辑:

大家好

感谢您的回复。我接受了 Norman Ramsey(和评论者 onebyone)的回答，我理解为以下论点:对于目标数字 n，任何策略都必须能够(至少)区分 0..n 中的数字，这意味着您需要(至少)O(log(n)) 次比较。

但是你们中的一些人也指出问题首先没有明确定义，因为不可能在均匀概率分布下选择一个“随机正整数”(或者更确切地说，均匀概率分布不能存在于无限集上)。一旦我给你一个非均匀分布，你就可以将它分成两半并像往常一样应用二分搜索。

这是我在走来走去时经常思考的问题，很高兴有两个结论性的答案。

Answer 1

如果确实没有上限，并且所有数字一直到无穷大的可能性都相等，那么就没有最佳方法可以做到这一点。对于任何有限猜测 G，该数字低于 G 的概率为零，高于该数字的概率为 1 - 因此不存在期望高于该数字的有限猜测。

对约翰的编辑的回应:

根据预期 10 的幂优于 2 的幂的相同推理(对于 2 的幂更好的 N 的数量是有限的，而对于 10 的幂更好的 N 的数量是无限的)，幂20 的幂比 10 的幂更好。

所以基本上，是的，奖品属于增长最快的序列(对于相同的序列，起点最高)——对于任何给定的序列，可以证明增长更快的序列将在无限多的情况下获胜。因为对于你命名的任何序列，我都可以命名一个增长更快的序列，而对于你命名的任何整数，我可以命名一个更高的序列，没有无法改进的答案。 (而且每个最终会给出正确答案的算法都有一个预期的无限猜测次数)。