形状计算算法(椭圆)

Question

我有 n 个圆圈，它们必须完美地围绕着一个椭圆，如下图所示:

在这张图片中，我需要找出椭圆周围每个圆的位置，并且还能够计算出完全适合这些周围圆的椭圆。

我知道的信息是每个圆的半径(都一样)，以及圆的个数。

希望这次帖子是清楚的。感谢您的帮助。如果您需要更多解释，请告诉我。

Answer 1

好的，据我了解，您知道圆的公用半径 R0 及其编号 N，并且想知道椭圆内部的参数和所有元素的位置。

如果我们将椭圆转换为圆形，那么我们会得到:

const int N=12; // number of satelite circles
const double R=10.0;    // radius of satelite circles
struct _circle { double x,y,r; } circle[N]; // satelite circles

int i;
double x,y,r,l,a,da;
x=0.0;  // start pos of first satelite circle
y=0.0;
r=R;
l=r+r;  // distance ang angle between satelite circle centers
a=0.0*deg;
da=divide(360.0*deg,N);
for (i=0;i<N;i++)
    {
    circle[i].x=x; x+=l*cos(a);
    circle[i].y=y; y+=l*sin(a);
    circle[i].r=r; a+=da;
    }
// inside circle params
_circle c;
r=divide(0.5*l,sin(0.5*da))-R;
c.x=circle[i].x;
c.y=circle[i].y+R+r;
c.r=r;

[编辑 1]

对于椭圆来说这是一个全新的挑战(我花了两个小时才找出所有的怪癖)

const int    N=20;      // number of satelite circles
const double R=10.0;    // satelite circles radius
const double E= 0.7;    // ellipse distortion ry=rx*E
struct _circle { double x,y,r; _circle() { x=0; y=0; r=0.0; } } circle[N];
struct _ellipse { double x,y,rx,ry; _ellipse() { x=0; y=0; rx=0.0; ry=0.0; } } ellipse;

int i,j,k;
double l,a,da,m,dm,x,y,q,r0;
l=double(N)*R;                          // circle cener lines polygon length
ellipse.x =0.0;                         // set ellipse parameters
ellipse.y =0.0;
r0=divide(l,M_PI*sqrt(0.5*(1.0+(E*E))))-R;// aprox radius to match ellipse length for start
l=R+R; l*=l;
m=1.0; dm=1.0; x=0.0;
for (k=0;k<5;k++)                       // aproximate ellipse size to the right size
    {
    dm=fabs(0.1*dm);                    // each k-iteration layer is 10x times more accurate
    if (x>l) dm=-dm;
    for (;;)
        {
        ellipse.rx=r0  *m;
        ellipse.ry=r0*E*m;
        for (a=0.0,i=0;i<N;i++)         // set circle parameters
            {
            q=(2.0*a)-atanxy(cos(a),sin(a)*E);
            circle[i].x=ellipse.x+(ellipse.rx*cos(a))+(R*cos(q));
            circle[i].y=ellipse.y+(ellipse.ry*sin(a))+(R*sin(q));
            circle[i].r=R;    
            da=divide(360*deg,N); a+=da;
            for (j=0;j<5;j++)           // aproximate next position to match 2R distance from current position
                {
                da=fabs(0.1*da);        // each j-iteration layer is 10x times more accurate
                q=(2.0*a)-atanxy(cos(a),sin(a)*E);
                x=ellipse.x+(ellipse.rx*cos(a))+(R*cos(q))-circle[i].x; x*=x;
                y=ellipse.y+(ellipse.ry*sin(a))+(R*sin(q))-circle[i].y; y*=y; x+=y;
                if (x>l) for (;;)       // if too far dec angle
                    {
                    a-=da;
                    q=(2.0*a)-atanxy(cos(a),sin(a)*E);
                    x=ellipse.x+(ellipse.rx*cos(a))+(R*cos(q))-circle[i].x; x*=x;
                    y=ellipse.y+(ellipse.ry*sin(a))+(R*sin(q))-circle[i].y; y*=y; x+=y;
                    if (x<=l) break;
                    }
                else if (x<l) for (;;)  // if too short inc angle
                    {
                    a+=da;
                    q=(2.0*a)-atanxy(cos(a),sin(a)*E);
                    x=ellipse.x+(ellipse.rx*cos(a))+(R*cos(q))-circle[i].x; x*=x;
                    y=ellipse.y+(ellipse.ry*sin(a))+(R*sin(q))-circle[i].y; y*=y; x+=y;
                    if (x>=l) break;
                    }
                else break;
                }
            }
        // check if last circle is joined as it should be
        x=circle[N-1].x-circle[0].x; x*=x;
        y=circle[N-1].y-circle[0].y; y*=y; x+=y;
        if (dm>0.0) { if (x>=l) break; }
        else        { if (x<=l) break; }
        m+=dm;
        }
    }

好吧，我知道它的代码有点乱，所以这里有一些信息:

1. 首先尝试设置尽可能接近的椭圆 rx,ry 轴

   椭圆长度应约为 N*R*2这是圆心之间线的多边形长度

2. 尝试组合圆圈，使它们相互接触并接触椭圆

   我为此使用椭圆角的迭代。问题是圆在它们的位置角上不接触椭圆，这就是为什么有 q 的原因。变量...以补偿椭圆法线。寻找图像中的金黄色线条

3. 放置圆圈后检查最后一个是否接触第一个

   如果不插入椭圆的大小，它实际上会缩放 rx,ry通过 m向上或向下可变

4. 您可以调整准确度

   通过更改j,k for s 和/或更改 dm,da比例因子

5. 输入参数E应该至少是 0.5和最大值 1.0

   如果不是，那么很可能会错放圆圈，因为在非常偏心的椭圆上不可能拟合圆圈(如果 N 太低)。理想的设置是 0.7<=E<=1.0越接近 1 算法越安全

6. atanxy(dx,dy)与 `atan(dy/dx)

   相同

   但它处理所有 4 个象限，如 atan2(dy,dx)通过符号分析dx,dy

希望对你有帮助