algorithm - 三个正数 x、y、z 的组合，使得 x + y、x - y、y + z、y - z、x + z 和 x - z 是完全平方数

Question

早上好，我是新来的，我带来了一个小问题。我无法针对以下问题开发有效的算法:我需要找到三个正数 x、y 和 z 的组合，以便 x + y、x - y、y + z、y - z、x + z 和 x - z 是完全平方数。问题是开发一种算法，找到 1 之间的 x、y 和 z 的所有组合和 2,000,000。

目前我在 for 中使用 for 肯定不会在我有孙子之前结束。

Answer 1

以替换开始的基本思想，例如:

 u = x + y
 v = x - y
 w = y + z

那么 x + y, x - y, y + z, y - z, x + z and x - z 就变成了

 u, v, w, u - v - w, v + w, u - w   [all have to be squares]

然后用另一个替换，u = a², v = b², w = c²，你得到:

 a², b², c², a² - b² - c², b² + c², a² - c²    [all have to be squares]

现在您可以枚举所有可能已经足够快的 a、b、c-s。

进一步的想法可能是首先使用 Pythagorean triples 枚举所有 b²、c²、b²+c² (通过将其代入 m 和 n，枚举所有互质数 (m,n)，然后使用欧几里得公式)然后以类似的方式找到给定的 (b,c) the as(例如，将 a² - c² = x² 更改为 a² = x² + c² 并再次使用三元组)。