algorithm - 在 O(E logV) 的图中找到单调最短路径

Question

创意题第34题来自this page .

Monotonic shortest path. Given an edge-weighted digraph, find a monotonic shortest path from s to every other vertex. A path is monotonic if the weight of every edge on the path is either strictly increasing or strictly decreasing.

Partial solution: relax edges in ascending order and find a best path; then relax edges in descending order and find a best path.

我的问题:

假设我们按降序放宽边，并且我们可以选择在一个点上使用多于​​ 1 条边。我们将在什么基础上选择下一个优势？理想情况下，我们应该选择较小的边，因为它会最小化到该顶点的距离。但是，如果离开该顶点的所有边的权重都大于当前边的权重，那么这样做可能会导致该顶点没有进一步的路径。

那么，我们该如何解决这个问题呢？

Answer 1

这个问题可以通过修改Dijkstra算法来解决。要点是放松不应在每个图节点(像往常一样)中使用 min 操作，而应在优先级队列中进行。

这是对常用 Dijkstra 算法的修改列表。我只考虑按升序排列的边的松弛，这会导致最短路径严格递减(要获得递增的最短路径，请更改第 2 项和第 4 项):

1. 通过对每个节点的传出边进行排序(按权重)来预处理图形。
2. 每个节点都应包含出边列表中的位置(由最亮边的位置初始化)。
3. 不需要优先级队列来支持“递减”操作(因此可以通过简单的最小堆实现)。每个顶点都被插入到优先队列中，然后在它出现在队列顶部之前永远不会改变(因此每个顶点可能在队列中表示多次)。队列条目由键(通常是路径长度)、顶点和传入边的权重组成。因此我们可以假设优先级队列包含传入边而不是顶点。
4. 松弛过程:从队列中弹出边(以及该边结束的顶点)；对顶点的所有出边按递增顺序，从图节点存储的位置开始，到出边权重大于或等于入边权重时结束，将出边插入优先级队列并推进存储位置。

该算法保证每条边最多被处理一次(如果同时考虑严格递减和严格递增路径，则最多处理两次)，因此其复杂度为 O(E log E)。

C++11 实现:

void getDecreasingSP(Vertices& vertices, Edges& edges, int src)
{
    for (auto& v: vertices)
        sort(begin(v.outEdges), end(v.outEdges),
             [&](int from, int to)
             {
                 return edges[from].weight < edges[to].weight;
             });

    PQ pq;
    auto& src_v = vertices[src];
    for (auto e: src_v.outEdges)
    {
        QEntry entry {edges[e].weight, e};
        pq.push(entry);
        ++src_v.pos;
    }

    while(!pq.empty())
    {
        QEntry top = pq.top();
        pq.pop();
        auto& v = vertices[edges[top.inEdge].to];

        while (v.pos < int(v.outEdges.size()) &&
            edges[v.outEdges[v.pos]].weight < edges[top.inEdge].weight)
        {
            auto e = v.outEdges[v.pos];
            edges[e].backPtr = top.inEdge;
            QEntry entry {top.pathWeight + edges[e].weight, e};
            pq.push(entry);
            ++v.pos;
        }

        if (v.backPtr == -1)
            v.backPtr = top.inEdge;
    }
}

另见 working code on Ideone .以及图形的可视化(由这段代码在 Graphviz 的帮助下生成)，其中突出显示了严格递减的最短路径之一: