algorithm - 高度图的离散流体 "filling"算法

Question

我正在寻找一种算法来描述流体在高度图表面扩散时的 transient 行为。我在 t=0 时的起始条件是:

• 大小为 [x, y] 的高度值 (H) 的二维矩阵
• 大小为 [x, y] 的流体高度值 (F) 的二维矩阵
• 矩阵(a)中每个点的面积度量，即每个位置为1 cm^2
• 流体的粘度值 (u)

我想要的是一种算法，可以在 t'=t+1 时计算流体高度矩阵 F 的新值。在任何时候，我都可以通过 v = a * (F(x,y) - H(x, y)) 计算给定点的流体体积。该算法的理想特性是:

• 它不需要考虑每个点的流体柱顶部或底部的“斜率”或“形状”。即它可以将高度图中的每个值视为描述一个特定高度的扁平正方形，并将流体高度图中的每个值视为顶部平坦的矩形水柱
• 如果遇到“排水管”(即高度图中的一个非常低的点)， map 所有部分的流体都可能受到影响，因为它被拉向它。

我正在寻找的一个简单示例是:

• 一个 5x5 高度图矩阵，其中所有值为 0
• 一个 5x5 流体高度贴图矩阵，其中除 [2, 2] 之外的所有值为 0，即 10。
• 每个点的面积为 1 m^2
• u的粘度

该算法将描述在多个时间步长内在 5x5 矩阵上散布的流体“列”。最终算法会在所有位置稳定在 10/25 的统一高度，但我真的很想知道这两者之间发生了什么。

我曾尝试搜索这种算法，但我所能找到的只是描述流体内部粒子行为的方程式，对于我的目的而言，这些方程式过于细化。有谁知道我可以引用这个问题的任何好的资源，或者可以满足我需要的现有算法。

Answer 1

O is your starting fluid-column
o are diffusing columns
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X  X  X  X  X

X  X  X  X  X

X  X  O  X  X

X  X  X  X  X

X  X  X  X  X  
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--Get the Laplacian of the heights of each neighbour and accumulate results
in a separate matrix
--Then apply the second matrix into first one to do synchronous diffusion
--go to Laplacian step again and again


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X  X  X  X  X

X  X  o  X  X

X  o  O  o  X

X  X  o  X  X

X  X  X  X  X  
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X  X  .  X  X

X  .  o  .  X

.  o  O  o  .

X  .  o  .  X

X  X  .  X  X  
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X  X  .  X  X

X  o  o  o  X

.  o  o  o  .

X  o  o  o  X

X  X  .  X  X  
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X  X  .  X  X

X  o  o  o  X

.  o  o  o  .

X  o  o  o  X

X  X  .  X  X  
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X  .  o  .  X

.  o  o  o  .

o  o  o  o  o

.  o  o  o  .

X  .  o  .  X  
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.  .  .  .  .

.  o  o  o  .

.  o  o  o  .

.  o  o  o  .

.  .  .  .  .  
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.  .  .  .  .

.  .  .  .  .

.  .  o  .  .

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sorry for very low height-resolution

Laplacian

Laplacian's place in diffusion

Diffusion's place in Navier-Stokes equations

Discrete Laplace Operator

简单算法(伪):

get a cell's value in a.
get neighbour cells' values in b(sum of them)
put b/4.0 in c(getting 4 cells' values)
add a to c
build a matrix with this algorithm
apply the matrix onto old one
goto step 1

更难的算法(伪):

apply discrete-Laplacian-operator on all neighbours(finite-differences thing)
put solution in c height-map
subtract or add c to/from starting height-map
goto step 1

Jos Stam's fluid-solver扩散部分也有类似的情况。