arrays - 如何在满足以下约束的 n 个元素的数组中分配随机值？

Question

假设 a 是我的 n 元素数组。

约束:

1. alpha <= a[i] <= beta。
2. 0 <= alpha <= beta <= 1。
3. a 中所有元素的总和应正好为 1。

假设对于给定的 alpha 和 beta 值，这样的数组总是可能的

这是我的想法:

在 alpha 和 beta 之间随机分配值。查找数组元素的总和。如果 sum>1，则用 x 减去所有元素以满足约束条件。如果 sum<1，则添加所有带有 x 的元素以满足约束条件。

但我发现很难找到新映射的值。

Answer 1

这可以满足当且仅当 alpha × n ≤ 1 ≤ beta × n。

您可以通过选择 n 个随机数来做到这一点。令 r_i 为第 i^th 个随机数，令 R 为随机数之和，S = (beta - alpha)/(1-n×alpha) × R. 设置 a[i] = alpha + r_i/S * (beta - alpha)。只要 S 不小于最大随机数，那么 a 的所有元素都在 alpha 和 beta 之间，并且它们的和为 1。

#include <iostream>
#include <cassert>
#include <random>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iterator>

int main() {
    const double alpha = 0.05, beta = 0.15;
    const int n = 10;

    if (!(n * alpha <= 1.0 && 1.0 <= n * beta)) {
        std::cout << "unable to satisfy costraints.\n";
        return 0;
    }

    if (alpha == beta || std::fabs(1.0 - n * alpha) < 1e-6 || std::fabs(1.0 - n * beta) < 1e-6) {
        std::cout << "Solution for alpha = " << alpha << ", beta = " << beta << " n = " << n << ":\n";
        std::fill_n(std::ostream_iterator<double>(std::cout, " "), n, 1.0/n);
        std::cout << "\nSum: 1.0\n";
        return 0;
    }

    std::vector<int> r;
    double S;

    {
        std::random_device rd;
        std::seed_seq seed{rd(), rd(), rd(), rd(), rd(), rd(), rd(), rd()};
        std::mt19937 eng(seed);
        std::uniform_int_distribution<> dist(0, 1000);

        do {
            r.clear();
            std::generate_n(back_inserter(r), n, std::bind(dist, std::ref(eng)));

            int sum = std::accumulate(begin(r), end(r), 0);
            S = (beta - alpha) / (1 - n * alpha) * sum;
        } while (S < *std::max_element(begin(r), end(r)));

    }

    std::vector<double> a(n);
    std::transform(begin(r), end(r), begin(a), [&] (int ri) { return alpha + ri/S * (beta - alpha); });

    for (double ai : a) {
        assert(alpha <= ai && ai <= beta);
    }

    std::cout << "Solution for alpha = " << alpha << ", beta = " << beta << " n = " << n << ":\n";
    std::copy(begin(a), end(a), std::ostream_iterator<double>(std::cout, " "));
    std::cout << '\n';
    std::cout << "Sum: " << std::accumulate(begin(a), end(a), 0.0) << '\n';
}

Solution for alpha = 0.05, beta = 0.15, n = 10:
0.073923 0.117644 0.0834555 0.139368 0.101696 0.0846471 0.115261 0.0759395 0.0918882 0.116178
Sum: 1

---

您没有指定您希望算法提供的特定分布，但我想我要指出的是，该算法不一定以相等的概率产生所有可能的解决方案；我相信有些解决方案比其他解决方案更有可能产生。