algorithm - 加权最小二乘 - 将平面拟合到 3D 点集

Question

我正在使用最小二乘法将平面拟合到 3D 点集。我已经有算法可以做到这一点，但我想修改它以使用加权最小二乘法。这意味着我对每个点都有一个权重(权重越大，飞机应该离该点越近)。

当前的算法(没有权重)是这样的:

计算总和:

for(Point3D p3d : pointCloud) {
    pos = p3d.getPosition();
    fSumX += pos[0];
    fSumY += pos[1];
    fSumZ += pos[2];
    fSumXX += pos[0]*pos[0];
    fSumXY += pos[0]*pos[1];
    fSumXZ += pos[0]*pos[2];
    fSumYY += pos[1]*pos[1];
    fSumYZ += pos[1]*pos[2];
}

比做矩阵:

double[][] A = {
    {fSumXX, fSumXY, fSumX},
    {fSumXY, fSumYY, fSumY},
    {fSumX,  fSumY,  pointCloud.size()}
};

double[][] B =  {
    {fSumXZ},
    {fSumYZ},
    {fSumZ}
};

然后解决 Ax = B，解决方案的 3 个分量是拟合平面的系数...

那么，您能帮我修改一下以使用权重吗？谢谢!

Answer 1

直觉

由法线 n 定义的平面上的点 x 和平面 p 上的点服从:n.(x - p) = 0。如果点 y 不在平面上，n.(y -p) 将不等于零，因此定义成本的一种有用方法是通过 |n.(y - p)|^2 。这是点 y 与平面的平方距离。

在权重相等的情况下，您想找到一个n，它在对点求和时使总平方误差最小:

f(n) = sum_i | n.(x_i - p) |^2

现在假设我们知道位于平面上的一些点p。我们可以轻松地将一个计算为质心，它只是点云中各点的分量平均值，并且始终位于最小二乘平面内。

解决方案

让我们定义一个矩阵M，其中每一行都是第i点x_i减去质心c，我们可以重写:

f(n) = | M n |^2

您应该能够说服自己，这个矩阵乘法版本与前面等式的和相同。

然后你可以取singular value decomposition M，然后您想要的 n 由对应于最小奇异值的 M 的右奇异向量给出。

要合并权重，您只需为每个点定义一个权重 w_i。计算c作为点的加权平均值，改变sum_i | n.(x_i - c) |^2 到 sum_i | w_i * n.(x_i - c) |^2，矩阵M类似。然后像以前一样解决。