algorithm - 符号与数值数学 - 性能

Question

与数值计算相比，符号数学计算(尤其是求解非线性多项式系统)是否会导致巨大的性能(计算速度)劣势？有这方面的基准/数据吗？

找到一个相关问题:Symbolic computation vs. numerical computation

另一个:Computational Efficiency of Forward Mode Automatic vs Numeric vs Symbolic Differentiation

Answer 1

我是回答您在问题中提到的 Scicomp 问题的人。我个人并不知道有任何经验指标用于比较多项式方程组的符号解与数值解的运行时性能。

但是，符号解决方案在解决问题的大多数方面都会有更多的开销，这应该是相当直观的，例如以符号方式操作方程中的项，搜索如何简化/重新排列方程以使其更容易求解、搜索已知的封闭形式解决方案等。符号求解器的一个主要问题是您可能没有可以找到和使用的封闭形式解决方案，因此无论哪种方式都必须以数值方式求解。

我认为符号求解器在运行时优于数值求解器的唯一方法是，如果符号求解器能够足够快地将您的问题识别为具有已知解析解的问题，或者它是否最终在数值求解器时到达解决方案从来没有(也就是发散)。

鉴于您可以找到收敛的数值求解器，我认为数值求解器通常会更有效，因为在改进解决方案方面取得进展的开销要少得多。既然你提到多项式方程组的求解，我怀疑还有一些针对你的问题类型的定制算法可能优于典型的非线性方程求解方案。