algorithm - 如何将多项式变换到另一个坐标系？

Question

我使用各种矩阵数学求解了一个方程组，得到了次数为“n”的多项式的系数

Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z

然后我在给定的 x 范围内计算多项式，本质上我正在渲染多项式曲线。现在问题来了。我在我们称之为“数据空间”的一个坐标系中完成了这项工作。现在我需要在另一个坐标空间中呈现相同的曲线。将输入/输出转换为坐标空间很容易，但最终用户只对系数 [A,B,....,Z] 感兴趣，因为他们可以自己重构多项式。如何呈现第二组系数 [A',B',....,Z']，它们代表不同坐标系中的相同形状曲线。

如果有帮助，我正在二维空间中工作。普通的旧 x 和 y。我也觉得这可能涉及将系数乘以变换矩阵？它会包含坐标系之间的比例/平移因子吗？它会是这个矩阵的逆矩阵吗？我觉得我正朝着正确的方向前进......

更新:坐标系是线性相关的。会有用的信息吗？

Answer 1

问题陈述有点不清楚，所以首先我会澄清我自己的解释:

你有一个多项式函数

f(x) = C_nxⁿ + C_n-1x^n-1 + ... + C₀

[我把 A, B, ... Z 改成了 C_n, C_n-1, ..., C₀以更轻松地使用下面的线性代数。]

然后您还有一个转换，例如:z = ax + b，您希望使用它来查找相同多项式的系数，但根据z:

f(z) = D_nzⁿ + D_n-1z^n-1 + ... + D₀

这可以通过一些线性代数很容易地完成。特别是，您可以定义一个 (n+1)×(n+1) 矩阵 T，它允许我们进行矩阵乘法

d = T * c ,

其中 d 是一个列向量，顶部条目 D₀ 到最后一个条目 D_n，列向量 c 与 C_i 系数相似，而矩阵 T 有 ( i,j)-th [i^th 行，j^th 列] 条目 t_ij 由

t_ij = (j 选择 i) aⁱ b^j-i。

其中 (j 选择 i) 是二项式系数，当 i> j 时 = 0。此外，与标准矩阵不同，我认为 i,j 的范围从 0 到 n(通常从 1 开始)。

当您手动插入 z=ax+b 并使用 binomial theorem 时，这基本上是写出多项式展开和重新压缩的好方法。 .