algorithm - n皇后算法的所有可能解

Question

当为 n-Queen 问题的所有可能解决方案实现算法时，我发现许多分支都达到了相同的解决方案。有没有什么好的方法可以生成 n-Queens 问题的每个唯一解决方案？如何避免不同分支(存储和比较除外)产生重复的解决方案？

这是我尝试过的第一个解决方案: http://www.ideone.com/hDpr3

代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

/* crude */

#define QUEEN 'Q'
#define BLANK '.'

int is_valid (char **board, int n, int a, int b)
{
  int i, j;

  for (i=0; i<n; i++)
  {
    if (board[a][i] == QUEEN)
      return 0;
    if (board[i][b] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i>=0) && (j>=0); i--, j--)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i<n) && (j<n); i++, j++)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i>=0) && (j<n); i--, j++)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }

  for (i=a, j=b; (i<n) && (j>=0); i++, j--)
  {
    if (board[i][j] == QUEEN)
      return 0;
  }
  return 1;
}

void show_board (char **board, int n)
{
  int i, j;

  for (i=0; i<n; i++)
  {
    printf ("\n");
    for (j=0; j<n; j++)
    {
      printf (" %c", board[i][j]);
    }
  }
}

int nqdfs_all (char **board, int n, int d)
{
  int i, j, ret = 0;

  /* the last queen was placed on the last depth
   * therefore this dfs branch in the recursion 
   * tree is a solution, return 1
   */
  if (d == n)
  {
    /* Print whenever we find one solution */
    printf ("\n");
    show_board (board, n);
    return 1;
  }

  /* check all position */
  for (i=0; i<n; i++)
  {
    for (j=0; j<n; j++)
    {
      if (is_valid (board, n, i, j))
      {
    board[i][j] = QUEEN;
    nqdfs_all (board, n, d + 1);
    board[i][j] = BLANK;
      }
    }
  }

  return ret;  
}

int nqdfs_first (char **board, int n, int d)
{
  int i, j, ret = 0;

  /* the last queen was placed on the last depth
   * therefore this dfs branch in the recursion 
   * tree is a solution, return 1
   */
  if (d == n)
    return 1;

  /* check all position */
  for (i=0; i<n; i++)
  {
    for (j=0; j<n; j++)
    {
      if (is_valid (board, n, i, j))
      {
    board[i][j] = QUEEN;
    ret = nqdfs_first (board, n, d + 1);
    if (ret)
    {
      /* if the first branch is found, tell about its 
       * success to its parent, we will not look in other
       * solutions in this function.
       */
      return ret;
    }
    else
    {
      /* this was not a successful path, so replace the
       * queen with a blank, and prepare board for next
       * pass
       */
      board[i][j] = BLANK;
    }
      }
    }
  }

  return ret;
}

int main (void)
{
  char **board;
  int n, i, j, ret;

  printf ("\nEnter \"n\": ");
  scanf ("%d", &n);

  board = malloc (sizeof (char *) * n);
  for (i=0; i<n; i++)
  {
    board[i] = malloc (sizeof (char) * n);
    memset (board[i], BLANK, n * sizeof (char));
  }

  nqdfs_first (board, n, 0);
  show_board (board, n);

  printf ("\n");
  return 0;
}

为了生成所有可能的解决方案，我使用了相同的代码 nqdfs_all () 函数，但没有将控制权返回给父级，而是继续枚举和检查。调用此函数会显示不同分支达到的重复结果。

Answer 1

您应该利用每个皇后必须放在不同列中的事实。如果您已经在前 k 列中放置了 k 个皇后，则递归地将编号为 k+1 的皇后放在第 k+1 列中，然后遍历第 1 行到第 n 行(而不是像您目前的算法那样遍历所有 n*n 单元格)。对每个有效位置继续使用 k:=k+1。这将避免任何重复的结果，因为该算法根本不会生成任何重复的电路板。

编辑:关于避免对称的问题:可以事先避免其中的一部分，例如，通过将第 1 列中的皇后 1 限制为第 1 行，...n/2。如果你想完全避免对称解决方案的输出，你必须将每个找到的解决方案存储在一个列表中，每当你找到一个新的解决方案，在打印出来之前，测试它的对称等价物之一是否已经存在于列表中。

为了提高效率，您可以使用每个板的“规范表示”，定义如下。生成一个给定的所有对称板，将每个对称板打包到一个字节数组中，并在这些数组中保留一个数组，该数组被解释为一个大数，具有最小值。这种打包表示是每 block 板的对称类的唯一标识符，可以很容易地放入字典/哈希表中，这使得测试该对称类是否已经出现非常有效。