arrays - 找出数组中满足 ia[j] 的 (i,j) 对的总数

Question

如问题中所述，需要找到数组中 (i,j) 对的总数，使得

(1) **i<j** 
(2) **a[i]>a[j]**

其中 i 和 j 是数组的索引。没有空间限制。

我的问题是

 1) Is there any approach which takes less than O(N^2) time?
 2) if so what is least complexity ?
 3) How do we prove that ? 

我希望我对这个问题很清楚。

我的做法如下

做这道题的一种方法是使用暴力破解，这需要 O(N^2) 时间。

但我认为这个问题应该有一个更好的优化解决方案——至少O(NlogN)的解决方案。我的直觉原因如下

直觉 1) For sorting an array in ascending order conditions we have are : for i<j , a[i]<a[j] which is similar to my question . I also read that sorting has lower bound of Omega(n log n) . So my question should also have Omega(n log n) . I may be completely wrong if so please correct me .

我的第二个直觉是:

假设我们有一个元素数组如下:4,9,7,3,2,1,8,12

我们计算以上条件i<j , a[i]>a[j]对于元素 4 ，当 i=0 指向 4 时，j 的可能值为 3,4,5 。因为 a[0]>a[3],a[0]>a[4],a[0]> a[5] ，所以我现在的 (i,j) 对总数是 3 。 下次当我将 i(index) 增加到 1 时，j 的可能值为 2,3,4,5,6 。但是我们应该使用这样一个事实，即当 i=0(当 a[i]=4)时，我们计算了 3 个小于 a[i=0] 的元素，而 a[i=0] 又小于 a[i=1]，所以我不会将 9 与 3,2,1 进行比较(删除不必要的计算)。如果我们可以删除不必要的计算，那么我们可以将复杂性降低到小于 O(N^2) 的程度，否则不存在小于 O(N^2) 的解决方案。但如果存在解决方案，那么我们该怎么做。我尝试制作图表，但我的努力是徒劳的。

方法 1) In-order to obtain O(nlogn) complexity I think we need to tweak around quick sort or merge sort to get solution but problem here is, if we sort the array we loose the actual positions of elements.

方法 2)In-order to get solution in O(NlogN) time I think using tree we may get the optimised sollution . I didn't get any clue.

方法 3) If there exists any O(N) time algorithm it should be with hashing . But in this case simple hashing doest work .

所以请让我知道以上哪些直觉或方法是正确的(如果正确，哪种方法将导致优化的解决方案以及如何)。

Answer 1

您可以使用该算法计算反向对，类似于归并排序，如解释的那样 here .

想法是在计数的同时对数组进行归并排序，每一步改变了多少次反转。

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另一种方法是使用订单统计树。您按顺序将数组的元素插入到这棵树中，并在每次插入后查看插入元素之前有多少元素大于它。

订单统计树的替代方法是 Indexable skiplist .

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两种算法的时间复杂度均为 O(N log N)。

要获得近似的反转次数，O(N) 时间复杂度是可能的，但有一些限制。我们可以修改Bucket sort以相同的方式修改合并排序。

在桶排序的“分散”阶段，我们应该为较大的元素估计桶中元素的数量，同时在某个桶的末尾插入元素(每个桶中的元素保持原始顺序)。

在桶排序的“排序”阶段，我们应该修改(以相同的方式)排序算法(最有可能是插入排序)。在将元素插入到适当的位置时，我们应该计算它跳过了多少其他元素。

至于局限性，该算法仅适用于数字(或对象，易于转换为数字)，我们应该提前知道这些数字是如何分布的。所以，如果我们有一个均匀分布的整数数组，这个算法应该可以正常工作。