algorithm - 将扩展(80 位)转换为字符串

Question

如何将扩展精度浮点值转换为字符串？

背景

Intel CPU 支持三种浮点格式:

• 32 位单精度
• 64 位 double
• 80 位 Extended precision

Delphi 原生支持扩展精度浮点格式。

扩展精度分为:

• 1 个符号位
• 15 个指数位
• 1 个整数部分位(即数字以 0. 或 1. 开头)
• 63位尾数

您可以将 Extended 的尾数大小与其他浮点类型的尾数大小进行比较:

| Type     | Sign  | Exponent | Integer | Mantissa | 
|----------|-------|----------|---------|----------|
| Single   | 1 bit |  8 bits  |  n/a    | 23 bits  |
| Double   | 1 bit | 11 bits  |  n/a    | 52 bits  |
| Extended | 1 bit | 15 bits  | 1 bit   | 63 bits  |

Extended 具有比单精度和 double 更高的精度。

例如取实数.49999999999999999 ，它是二进制表示:

Single:   0.1000000000000000000000000
Double:   0.10000000000000000000000000000000000000000000000000000
Extended: 0.01111111111111111111111111111111111111111111111111111111010001111

您看到 Single 和 Double 被迫四舍五入为 0.1 binary (0.5 decimal) ，扩展仍然有一定的精度。

但是如何将二进制分数转换成字符串呢？

如果我尝试转换扩展值 0.49999999999999998到一个字符串:

FloatToStr(v);

函数返回0.5 ，当我可以看到扩展内部并看到它不是 0.5 时:

0x3FFDFFFFFFFFFFFFFD1E

其他Extended值同理； Delphi 中的所有函数(我能找到的)都返回 0.5:

Value                   Hex representation      FloatToSTr
0.499999999999999980    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFD1E  '0.5'
0.499999999999999981    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFD43  '0.5'
0.499999999999999982    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFD68  '0.5'
0.499999999999999983    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFD8D  '0.5'
0.499999999999999984    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFDB2  '0.5'
0.499999999999999985    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFDD7  '0.5'
0.499999999999999986    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFDFB  '0.5'
0.499999999999999987    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFE20  '0.5'
0.499999999999999988    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFE45  '0.5'
0.499999999999999989    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFE6A  '0.5'
0.499999999999999990    0x3FFDFFFFFFFFFFFFFE8F  '0.5'
...                     ...
0.49999999999999999995  0x3FFDFFFFFFFFFFFFFFFF  '0.5'

什么功能？

FloatToStr 和 FloatToStrF 都是 FloatToText 的包装器 。

FloatToText 最终使用 FloatToDecimal 从扩展中提取包含 float 片段的记录:

TFloatRec = packed record
   Exponent: Smallint;
   Negative: Boolean;
   Digits: array[0..20] of Byte;
end;

以我为例:

var
   v: Extended;
   fr: TFloatRec;
begin
   v := 0.499999999999999980;

   FloatToDecimal({var}fr, v, fvExtended, 18, 9999);
end;

解码后的 float 返回为:

• 指数:0 (SmallInt)
• 否定:假( bool 值)
• 数字: [53, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , 1] (字节数组 [0..20])

Digits在 ascii 字符数组中:

• 指数: 0
• 否定: False
• 数字: '5'

FloatToDecimal 限制为 18 位

扩展精度 float 的 63 位尾数的精度可以下降到:

1 / (2^63)  
= 1.08420217248550443400745280086994171142578125 × 10^-19   
= 0.000000000000000000108420217248550443400745280086994171142578125
    \_________________/ 
            |
        19 digits

问题是:

• Extended 可以为您提供直到第 19 位的有意义的值
• FloatToDecimal，虽然返回最多 20 位数字，但仅接受并生成最多 18 位数字的扩展值请求(19 位货币数字)

对于文档:

For values of type Extended, the Precision parameter specifies the requested number of significant digits in the result--the allowed range is 1..18.
The Decimals parameter specifies the requested maximum number of digits to the left of the decimal point in the result.
Precision and Decimals together control how the result is rounded. To produce a result that always has a given number of significant digits regardless of the magnitude of the number, specify 9999 for the Decimals parameter.
The result of the conversion is stored in the specified TFloatRec record as follows:

Digits - Contains up to 18 (for type Extended) or 19 (for type Currency) significant digits followed by a null terminator. The implied decimal point (if any) is not stored in Digits.

所以我遇到了内置浮点格式函数的基本限制

如何格式化 80 位 IEEE 扩展精度 float ？

如果 Delphi 自己做不到，问题就变成了:我如何做？

我知道 Extended 是 10 个字节 ( SizeOf(Extended) = 10 )。现在的问题深入探讨了将 IEEE float 转换为字符串的黑暗艺术。

有些部分很简单:

function ExtendedToDecimal(v: Extended): TFloatRec;
var
    n: UInt64;
const
    BIAS = 16383;
begin
    Result := Default(TFloatRec);

    Result.Negative := v.Sign;
    Result.Exponent := v.Exponent;
    n := v.Mantissa;
//  Result.Digits :=
end;

但困难的部分留作答案练习。

奖金截图

Answer 1

How can i convert an Extended precision floating point value to a string?

由于 Delphi RTL 没有为 Extended(和 Double 实现正确和完整的 FloatToStr() 函数)，需要使用外部库，发现 here最初在 EDN, Codecentral .

该库由 John Herbster 创建，他是 Delphi RTL 库的长期贡献者，尤其是在浮点处理方面。 GitHub 源代码已更新为使用 UniCode 字符串处理和用于格式化的 TFormatSettings 结构。该库包含一个 ExactFloatToStr() 函数，用于处理 Extended、Double 和 Single 类型的 float 。

Program TestExactFloatToStr; 

{$APPTYPE CONSOLE}

Uses
  SysUtils,ExactFloatToStr_JH0;

begin
  WriteLn(ExactFloatToStr(Extended(0.49999999999999999)));
  WriteLn(ExactFloatToStr(Double(0.49999999999999999)));
  WriteLn(ExactFloatToStr(Single(0.49999999999999999)));
  ReadLn;
end.

输出:

0.49999999999999998999823495882122159628124791197478771209716796875
0.5
0.5