寻找树对称性的算法

Question

我有n个扇区，逆时针从0到n-1枚举。这些扇区之间的边界是无限分支(其中 n 个)。这些扇区位于复平面中，对于 n 偶数，扇区0和n/2被实轴平分，扇区均匀分布。

这些分支在特定点相遇，称为交汇点。每个路口都与扇区的一个子集(至少其中 3 个)相邻。

指定交汇点(以前缀顺序，比方说，从与扇区 0 和 1 相邻的交汇点开始)以及交汇点之间的距离，唯一地描述树。

现在，给定这样的表示，我如何判断它是否与实轴对称？

比如n=6，树(0,1,5)(1,2,4,5)(2,3,4)在实线上有3个交点，所以它是实轴对称的。如果 (015) 和 (1245) 之间的距离等于 (1245) 到 (234) 的距离，这也是关于虚轴对称的。

树 (0,1,5)(1,2,5)(2,4,5)(2,3,4) 有 4 个连接点，无论是虚轴还是实轴，这都不是对称的，但是如果表示中前两个和最后两个连接点之间的距离相等，则它具有 180 度旋转对称。

编辑:这是所有有 6 个分支、距离为 1 的树。 http://www2.math.su.se/~per/files/allTrees.pdf

因此，根据描述/表示，我想找到一些算法来确定它是否是对称的实部、虚部和旋转 180 度。最后一个例子是 180 度对称。

编辑 2:这实际上是为了我的研究。我也在 mathoverflow 上发布了这个问题，但我在竞赛编程方面的经历告诉我，这更像是一项 IOI 任务。mathematica 中的代码会非常好，但 java、python 或任何其他人类可读的语言就足够了。

(这些对称性对应于薛定谔方程中的特殊势能，它在量子力学中具有很好的性质。)

Answer 1

您能否更好地定义树的对称性是什么意思？

你先说

"The sectors live in the complex plane, and for n even, sector 0 and n/2 are bisected by the real axis, and the sectors are evenly spaced."

你想找到对称性

wrt real, imaginary, and rotation 180 degrees

然后我希望对称性将是纯粹的几何对称性，但随后您在对 Justin 的回答的评论中也说

There is also not a canonical way to draw a tree, and my drawing algorithm does not respect all possible symmetries that a tree can have

如果树的顶点位置不能在平面上唯一定义，您如何寻找几何对称性？此外，在您提供的许多图中(N=6，偶数)扇区 0 和 3 未被 x 轴(实轴)平分，因此我认为您自己的绘图是错误的。