algorithm - 欧拉计划问题 233

Question

我决定解决欧拉计划 problem 233接下来，但我遇到了一些重大问题!我做了一些分析并取得了一些相当不错的进展，但我现在陷入困境。这是我的工作:

引理 1:由于圆经过 4 个角点，因此对于任何 n 至少有 4 个解。但是对于圆周上的每个点，还有 7 个被发现有反射。因此总有8k+4个格点。

引理 2:圆的半径为 (√2)n，圆心为 (n/2, n/2)，因此其等式为 (x-n/2)^2 + (y-n/2)^2 = [n/√2]^2。这减少到 x^2+y^2 = n(x+y)。

引理 3:如果 x^2+y^2 = n(x+y) 的解写成 (x, y, z)，那么另一个解是 (kx, ky, kz)。证明是:

(x+y)n = x^2+y^2

(kx)^2+(ky)^2 = (kx+ky)m
k(x^2+y^2) = (x+y)m
m = kn

这与我对那种思路所做的一样多 - 我看不到任何可以从那里去的地方，但它被包括在内是因为它可能很有用。

我的下一个想法是移动圆心。将有相同数量的解决方案将其在任何维度上移动一个整数。所以当n/2是整数时，所以n=2k，x^2+y^2 = 2*k^2。事实证明，这个方程的解与方程 x^2+y^2=k^2 的解一样多(参见 Sloane A046109)。

这也提供了一种通过 A046080 计算任意 n 的解数的简单方法。 .如果 4k+1 形式的 n 中素数的幂是 f[0]...f[m]，则解的数量是 4*product(2f[i]+1 | i in [0.. .m]).

这让我可以逆向计算:4.product(2f[i]+1 | i in [0...m]) = 420，所以 product(2f[i]+1 | i in [0.. .m]) = 105 = 3*5*7。我能够想出这个程序，我认为它找到了所有 n 的总和，形式为 2k 且小于 10^11，它有 420 个圆格点。答案(我希望!)是 257199853438240692。

这是 C 程序:

#include "stdlib.h"
#include "stdio.h"
#include "math.h"
#include "string.h"

#define lim 1000000000L

char prime[lim];
long primes[50000000];
long len = 0;

int main(void)
{
    long i, j;
    for(i = 0; i < lim; i++)
    {
        prime[i] = 1;
    }

    for(i = 2; i < lim; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            for(j = 2*i; j < lim; j += i) prime[j] = 0;
            if((i-1)%4 == 0)
            {
                prime[i] = 2;
                //printf("%li\n", i);
                primes[len++] = i;
            }
        }

        if(i < 1000 || (i < 10000 && i%1000 == 0) || i%10000 == 0) printf("%li, %li\n", i, len);
    }

    printf("primes!\n");

    long a, b, c, v, total = 0, k;
    for(a = 0; a < len; a++)
    {
        v = primes[a]*primes[a]*primes[a];
        if(v > 50000000000L) break;

        for(b = 0; b < len; b++)
        {
            if(b == a) continue;

            v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b];
            if(v > 50000000000L) break;

            for(c = 0; c < len; c++)
            {
                if(c == a) continue;
                if(c == b) continue;

                v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b]*primes[c];
                if(v > 50000000000L) break;

                for(k = 1; k*v <= 50000000000L; k++)
                {
                    if(prime[k] == 2) continue;
                    total += k*v;
                }
            }
        }
    }

    for(a = 0; a < len; a++)
    {
        v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a];
        if(v > 50000000000L) break;

        for(b = 0; b < len; b++)
        {
            if(b == a) continue;

            v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b]*primes[b];
            if(v > 50000000000L) break;

            for(k = 1; k*v <= 50000000000L; k++)
            {
                if(prime[k] == 2) continue;
                total += k*v;
            }
        }
    }

    for(a = 0; a < len; a++)
    {
        v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a];
        if(v > 50000000000L) break;

        for(b = 0; b < len; b++)
        {
            if(b == a) continue;

            v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b];
            if(v > 50000000000L) break;

            for(k = 1; k*v <= 50000000000L; k++)
            {
                if(prime[k] == 2) continue;
                total += k*v;
            }
        }
    }

    printf("%li\n", 2*total);


    return 0;
}

我们只需要将具有420个圆格点且形式为2k+1的n的值相加即可!但是，这似乎比 n=2k 更难，而且我看不到任何方法。我也有点不确定我对 even n 的回答是否正确，因为该方法非常复杂......任何人都可以确认吗？有没有一种不涉及对不同 n 进行不同处理的简洁方法？

我完全没有想法!

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我最感兴趣的是我如何处理 N=2k+1，因为当 N=2k 时我可以按照 John Feminella 的建议去做。

Answer 1

提示 1:圆的半径为 n/√2，整数 n 永远不是整数，因此 A046080 永远不适用。

提示 2:不要费心滑动圆圈。从方格纸上拿起它，想一想它、定义它的正方形以及圆周上未知的兴趣点之间的相互关系。

提示 3:半圆的内接角始终为 90 度。

提示 4:一个数有多少种写成两个平方和的方法？

在整个过程中自由使用的奖励提示:对称性!

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剧透警告!

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在尝试根据上面的提示解决问题之前不要继续阅读

如果这些提示还不够，这里有一些缺失的步骤与上面的提示交错:

提示 1.5:您将不得不改变看待问题的方式，因为您使用的方法是基于一个有缺陷的前提。

提示 2.5:考虑正方形顶角之间圆弧左侧的格点。通过对称，在它的右边还有一个这样的点，在它的正下方有第三个。关于这些点之间的距离以及它们形成的三角形，您能说些什么？

提示 3.5:对于给定的 n，如何确定正方形顶角之间的弧左侧有多少格点？