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我有一个图论(也与组合学相关)问题如下所示,想知道设计算法来解决它的最佳方法是什么。
给定 4 个具有 6 个节点的不同图(不同,我指的是不同的结构,例如 STAR、LINE、COMPLETE 等)和 24 个独特的对象,设计一个算法将这些对象分配给这 4 个图 4 次,以便在 4 个分配的图形上重复邻居的数量最小化。例如,如果对象 A 和 B 在一个分配中的 4 个图中的其中一个上是邻居,那么在最好的情况下,A 和 B 将不会再次成为邻居其他 3 个作业。
显然,这种最小化的程度取决于给定的特定图形结构。但我对这里的通用解决方案更感兴趣,因此给定任意 4 个图结构,算法的结果可以保证这种最小化。
欢迎提出解决此问题的任何建议/想法,一些伪代码可能足以说明设计。谢谢。
最佳答案
表示:
你有 24 个元素,我将把这些元素命名为 A 到 X(24 个首字母)。这些元素中的每一个都将在 4 个图表中的一个中占有一席之地。我将给 4 个图的 24 个节点分配一个编号,从 1 到 24。
我将通过 24-uple =(xA1,xA2...,xA24) 来标识 A 的位置,例如,如果我想将 A 分配给节点号 8,我将编写 (xa1,Xa2. .xa24) = (0,0,0,0,0,0,0,1,0,0...0),其中 1 在位置 8。
我们可以说 A =(xa1,...xa24)
e1...e24 是单位向量 (1,0...0) 到 (0,0...1)
关于运算符“.”的注意事项:
使用这些符号对 A,...X 有一些限制:
Xii 在 {0,1}和
总和(Xai)=1 ...总和(Xxi)=1
总和(Xa1,xb1,...Xx1)=1 ...总和(Xa24,Xb24,...Xx24)=1
因为一个元素只能分配给一个节点。
我将通过定义每个节点的邻居关系来定义一个图,假设节点 8 有邻居节点 7 和节点 10
例如我需要检查 A 和 B 是否是节点 8 上的邻居:
A.e8=1 和 B.e7 或 B.e10 =1 那么我只需要 A.e8*(B.e7+B.e10)==1
在函数 isNeighborInGraphs(A,B) 中,我对每个节点进行测试,并根据邻域得到 1 或 0。
符号:
A=(0,0...,1,...,0)=(xa1,xa2...xa24)
B=...
...
X=(0,0...,1,...,0)
IsNeigborInGraphs(A,B)=A.e1*B.e2+... //if 1 and 2 are neigbors in one graph for exemple
L(A)=[B,B,C,E,G...] // list of neigbors of A (can repeat)
actualise(L(A)):
for element in [B,X]
if IsNeigbotInGraphs(A,Element)
L(A).append(Element)
endIf
endfor
N(A)=len(L(A))+Sum(IsneigborInGraph(A,i),i in L(A))
...
N(X)= ...
算法说明
目标函数
min(Sum(N(Z),Z=A to X)
约束:
Sum(Xai)=1 ... Sum(Xxi)=1
Sum(Xa1,xb1,...Xx1)=1 ... Sum(Xa24,Xb24,... Xx24)=1
你得到最好的解决方案
4.重复步骤2和3,再重复3次。
关于将节点分配给图形的算法设计,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/6253668/
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