algorithm - 优化 9 元素排序网络，减少到一个优化的中位数 9 网络？

Question

我正在研究完全基于两个输入最小值/最大值操作的九个元素的排序和中值选择网络。 Knuth，TAOCP 卷。 3，第 2 版。指出(第 226 页)九元素排序网络至少需要 25 次比较，这转化为相等数量的 SWAP() 基元或 50 分钟/最大操作。显然，通过消除冗余操作，可以将排序网络转换为中值选择网络。传统观点似乎认为这不会产生最佳的中值选择网络。虽然这在经验上似乎是正确的，但我在文献中找不到任何证据证明这是必然的。

Lukáŝ Sekanina，“中值电路的进化设计空间探索”。在:EvoWorkshops，2004 年 3 月，第 240-249 页，给出了最佳九输入中值选择网络所需的最小/最大操作数为 30(表 1)。我验证了这是通过 John L. Smith 给出的著名的中值选择网络实现的，“在 XC4000E FPGA 中实现中值滤波器”。 XCELL 杂志，卷。 23, 1996, p. 16，以及来自 Chaitali Chakrabarti 和 Li-Yu Wang 早期作品“基于排序过滤器的新型排序网络架构”的中位数 9 网络。 超大规模集成系统上的 IEEE 交易，卷。 2, No. 4 (1994), pp. 502-507，其中后者通过简单消除冗余组件转换为前者。请参阅下面代码中的变体 4 和 5。

检查已发布的最佳九元素排序网络是否适合通过消除冗余操作转换为高效的中值选择网络，我设法找到的最佳版本来自 John M. Gamble 的 online generator ，这需要 32 次最小/最大操作，因此只差两次最佳操作数。这在下面的代码中显示为变体 1。其他最佳排序网络分别减少到 36 分钟/最大操作(变体 2)和 38 分钟/最大操作(变体 3)。

是否有任何已知的九元素排序网络(即具有 50 个二输入最小/最大操作)通过消除单独的冗余操作？

下面的代码使用 float 数据作为测试用例，因为许多处理器为 float 据提供最小/最大操作而不是整数数据，GPU 是一个异常(exception)。由于特殊浮点操作数的问题(在我的实际用例中不会出现)，最佳代码序列通常需要使用编译器提供的“快速数学”模式，例如在这个 Godbolt testbed 中。 .

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define VARIANT     1
#define FULL_SORT   0

typedef float T;

#define MIN(a,b) std::min(a,b)
#define MAX(a,b) std::max(a,b)
#define SWAP(i,j) do { T s = MIN(a##i,a##j); T t = MAX(a##i,a##j); a##i = s; a##j = t; } while (0)
#define MIN3(x,y,z)  MIN(a##x,MIN(a##y,a##z))
#define MAX3(x,y,z)  MAX(a##x,MAX(a##y,a##z))
#define MED3(x,y,z)  MIN(MAX(MIN(a##y,a##z),a##x),MAX(a##y,a##z))
#define SORT3(x,y,z) do { T s = MIN3(x,y,z);  T t = MED3(x,y,z);  T u = MAX3(x,y,z); a##x=s; a##y=t; a##z=u; } while (0)

/* Use sorting/median network to fully or partially sort array of nine values
   and return the median value
*/
T network9 (T *a)
{
    // copy to scalars
    T a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8;
    a0=a[0];a1=a[1];a2=a[2];a3=a[3];a4=a[4];a5=a[5];a6=a[6];a7=a[7];a8=a[8];

#if VARIANT == 1
    // Full sort. http://pages.ripco.net/~jgamble/nw.html
    SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (1, 2);   SWAP (4, 5);
    SWAP (7, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (0, 3);
    SWAP (3, 6);   SWAP (0, 3);   SWAP (1, 4);   SWAP (4, 7);   SWAP (1, 4);
    SWAP (2, 5);   SWAP (5, 8);   SWAP (2, 5);   SWAP (1, 3);   SWAP (5, 7);
    SWAP (2, 6);   SWAP (4, 6);   SWAP (2, 4);   SWAP (2, 3);   SWAP (5, 6);
#elif VARIANT == 2
    // Full sort. Donald E. Knuth, TAOCP Vol. 3, 2nd ed., Fig 51
    SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (1, 2);   SWAP (4, 5);
    SWAP (7, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (2, 5);
    SWAP (0, 3);   SWAP (5, 8);   SWAP (1, 4);   SWAP (2, 5);   SWAP (3, 6);
    SWAP (4, 7);   SWAP (0, 3);   SWAP (5, 7);   SWAP (1, 4);   SWAP (2, 6);
    SWAP (1, 3);   SWAP (2, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (2, 3);   SWAP (4, 5);
#elif VARIANT == 3
    // Full sort. Vinod K Valsalam and Risto Miikkulainen, "Using Symmetry 
    // and Evolutionary Search to Minimize Sorting Networks". Journal of 
    // Machine Learning Research 14 (2013) 303-331
    SWAP (2, 6);   SWAP (0, 5);   SWAP (1, 4);   SWAP (7, 8);   SWAP (0, 7);
    SWAP (1, 2);   SWAP (3, 5);   SWAP (4, 6);   SWAP (5, 8);   SWAP (1, 3);
    SWAP (6, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (4, 5);   SWAP (2, 7);   SWAP (3, 7);
    SWAP (3, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (1, 2);   SWAP (1, 3);   SWAP (6, 7);
    SWAP (4, 5);   SWAP (2, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (2, 3);   SWAP (4, 5);
#elif VARIANT == 4
    // Chaitali Chakrabarti and Li-Yu Wang, "Novel sorting network-based 
    // architectures for rank order filters." IEEE Transactions on Very
    // Large Scale Integration Systems, Vol. 2, No. 4 (1994), pp. 502-507
    // sort columns
    SORT3 (0, 1, 2);
    SORT3 (3, 4, 5);
    SORT3 (6, 7, 8);
    // sort rows
    SORT3 (0, 3, 6);  // degenerate: MAX3 -> a6
    SORT3 (1, 4, 7);  // degenerate: MED3 -> a4
    SORT3 (2, 5, 8);  // degenerate: MIN3 -> a2
    // median computation
    SORT3 (2, 4, 6);  // degenerate: MED3 -> a4 has rank 4
#elif VARIANT == 5
    // John L. Smith, "Implementing median filters in XC4000E FPGAs", 
    // XCELL magazine, Vol. 23, 1996, p. 16
    SORT3 (0, 1, 2);
    SORT3 (3, 4, 5);
    SORT3 (6, 7, 8);
    a3 = MAX3 (0, 3, 6);  // a3 has rank 2,3,4,5,6
    a4 = MED3 (1, 4, 7);  // a4 has rank 3,4,5
    a5 = MIN3 (2, 5, 8);  // a5 has rank 2,3,4,5,6
    a4 = MED3 (3, 4, 5);  // a4 has rank 4
#else 
#error unknown VARIANT
#endif

#if FULL_SORT
    // copy back sorted results
    a[0]=a0;a[1]=a1;a[2]=a2;a[3]=a3;a[4]=a4;a[5]=a5;a[6]=a6;a[7]=a7;a[8]=a8;
#endif

    // return median-of-9
    return a4;
}

Answer 1

我不确定这会满足您正在寻找的所有标准，但这里有一种方法可以将变体 5 转换为 25 次交换、50 分钟/最大排序网络，然后将其简化为30 分钟/最大中值选择网络:

我们从使用三个 SORT3、一个 MAX3、一个 MIN3 和两个 MED3 的中值选择网络(John L. Smith，1996)开始:

我们将 MAX3、MIN3 和 MED3 全部改为 SORT3，并添加四个 SWAP 以获得完整的排序网络:

(我们不需要在最后对三元组 1,2,3 和 5,6,7 进行完整排序，因为 2 不能同时小于 1 和 3，并且 6 不能同时大于 5和 7.)

当我们用 SWAP 替换 SORT3 时，我们得到这个标准的 25-swap 排序网络:

然后我们可以将其缩减为这个 30 分钟/最大中值选择网络:

MIN = Math.min; MAX = Math.max;

function sortingNetwork9(a) {        // 50x min/max
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(1,2); swap(4,5); swap(7,8);
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(0,3); swap(3,6); swap(0,3);
    swap(1,4); swap(4,7); swap(1,4);
    swap(5,8); swap(2,5); swap(5,8);
    swap(2,4); swap(4,6); swap(2,4);  
    swap(1,3); swap(2,3);
    swap(5,7); swap(5,6);

    function swap(i,j) {var tmp = MIN(a[i],a[j]); a[j] = MAX(a[i],a[j]); a[i] = tmp;}
}
function medianSelection9(a) {       // 30x min/max
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(1,2); swap(4,5); swap(7,8);
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
     max(0,3);  max(3,6);  // (0,3);
    swap(1,4);  min(4,7);  max(1,4);
     min(5,8);  min(2,5);  // (5,8);
    swap(2,4);  min(4,6);  max(2,4);  
     // (1,3);  // (2,3);
     // (5,7);  // (5,6);

    function swap(i,j) {var tmp = MIN(a[i],a[j]); a[j] = MAX(a[i],a[j]); a[i] = tmp;}
    function min(i,j) {a[i] = MIN(a[i],a[j]);}
    function max(i,j) {a[j] = MAX(a[i],a[j]);}
}
var a = [5,7,1,8,2,3,6,4,0], b = [5,7,1,8,2,3,6,4,0];
sortingNetwork9(a);
medianSelection9(b);
document.write("sorted: " + a + "<br>median: " + b[4]);