algorithm - 卡在一个面试问题中……数组的分区

Question

我在互联网上发现了以下问题，想知道我将如何解决它:

Problem: Integer Partition without Rearrangement

Input: An arrangement S of non negative numbers {s₁, . . . , s_n} and an integer k.

Output: Partition S into k or fewer ranges, to minimize the maximum of the sums of all k or fewer ranges, without reordering any of the numbers.*

请帮忙，看起来很有趣的问题......我实际上花了很多时间，但没有看到任何解决方案......

Answer 1

让我们尝试使用动态规划来解决这个问题。

注意:如果 k > n，我们只能使用 n 区间。

考虑 d[ i ][ j ] 是当 S = {s₁ 时问题的解>, ..., s_i } 和 k = j。所以很容易看出:

1. d[ 0 ][ j ] = 0 对于从 1 到 k 的每个 j
2. d[ i ][ 1 ] = sum(s₁...s_i) 对于每个 i 从 1 到 n
3. d[ i ][ j ] = min_{for t = 1 to i} (max ( d[i - t][j - 1], sum(s_{i - t + 1}...s_i)) 对于 i = 1 到 n 和 j = 2 到 k

现在让我们看看为什么会这样:

1. 当序列中没有元素时，显然只能有一个区间(一个空区间)并且其元素之和为 0。这就是为什么 d[ 0 ][ j ] = 0 对于从 1 到 k 的所有 j。
2. 当只有一个区间时，显然解是序列所有元素的和。所以d[ i ][ 1 ] = sum(s₁...s_i)。
3. 现在让我们考虑序列中有i个元素，间隔数是j，我们可以假设最后一个间隔是(s_{i - t + 1}...s_i) 其中 t 是不大于 i 的正整数，所以在这种情况下解是 max ( d[i - t][j - 1], sum(s_{i - t + 1}...s_i), 但作为我们希望解决方案是最小的，我们应该选择 t 来最小化它，所以我们将得到 min_{for t = 1 to i} (max ( d[i - t][j - 1], sum(s_{i - t + 1}...s_i)).

示例:

S = (5,4,1,12), k = 2

d[0][1] = 0，d[0][2] = 0

d[1][1] = 5，d[1][2] = 5

d[2][1] = 9，d[2][2] = 5

d[3][1] = 10，d[3][2] = 5

d[4][1] = 22，d[4][2] = 12

代码:

#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{
    int n;
    const int INF = 2 * 1000 * 1000 * 1000;
    cin >> n;
    vector<int> s(n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> s[i];
    vector<int> first_sum(n + 1, 0);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        first_sum[i] = first_sum[i - 1] + s[i];
    int k;
    cin >> k;
    vector<vector<int> > d(n + 1);
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        d[i].resize(k + 1);
    //point 1
    for(int j = 0; j <= k; ++j)
        d[0][j] = 0;
    //point 2
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        d[i][1] = d[i - 1][1] + s[i]; //sum of integers from s[1] to s[i]
    //point 3
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 2; j <= k; ++j)
        {
            d[i][j] = INF;
            for(int t = 1; t <= i; ++t)
                d[i][j] = min(d[i][j], max(d[i - t][j - 1], first_sum[i] - first_sum[i - t]));
        }


    cout << d[n][k] << endl;
    return 0;
}