algorithm - 为什么计算斐波那契数列的复杂度是 2^n 而不是 n^2？

Question

我正在尝试使用递归树找出斐波那契数列的复杂性，并得出树的高度 = O(n) 最坏情况，每个级别的成本 = cn，因此 复杂性 = n*n=n^2

为什么是O(2^n)？

Answer 1

朴素递归斐波那契的复杂度确实是 2ⁿ。

T(n) = T(n-1) + T(n-2) = T(n-2) + T(n-3) + T(n-3) + T(n-4) = 
= T(n-3) + T(n-4) + T(n-4) + T(n-5) + T(n-4) + T(n-5) + T(n-5) + T(n-6) = ...

在每个步骤中，您调用 T 两次，从而提供最终的渐近势垒:
T(n) = 2⋅2⋅...⋅2 = 2ⁿ

bonus:斐波那契的最佳理论实现实际上是 close formula , 使用 golden ratio :

Fib(n) = (φⁿ – (–φ)⁻ⁿ)/sqrt(5) [where φ is the golden ratio]

(然而，由于浮点运算，它在现实生活中存在精度误差，不精确)