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给定 n 个半径为 r1 ... rn 的圆,将它们放置在没有圆重叠且边界圆具有“小”半径的位置。
该程序将列表 [r1, r2, ... rn] 作为输入并输出圆心。
目标是对给定的圆圈进行视觉上令人愉悦的排列,这些圆圈可以容纳在更大的圆圈内并且不会留下太多空白空间。 (就像 color blindness test picture 中的圆圈)。
您可以使用下面的 Python 代码作为起点(此代码需要 numpy 和 matplotlib - 在 Linux 上“sudo apt-get install numpy matplotlib”)...
import pylab
from matplotlib.patches import Circle
from random import gauss, randint
from colorsys import hsv_to_rgb
def plotCircles(circles):
# input is list of circles
# each circle is a tuple of the form (x, y, r)
ax = pylab.figure()
bx = pylab.gca()
rs = [x[2] for x in circles]
maxr = max(rs)
minr = min(rs)
hue = lambda inc: pow(float(inc - minr)/(1.02*(maxr - minr)), 3)
for circle in circles:
circ = Circle((circle[0], circle[1]), circle[2])
color = hsv_to_rgb(hue(circle[2]), 1, 1)
circ.set_color(color)
circ.set_edgecolor(color)
bx.add_patch(circ)
pylab.axis('scaled')
pylab.show()
def positionCircles(rn):
# You need rewrite this function
# As of now, this is a dummy function
# which positions the circles randomly
maxr = int(max(rn)/2)
numc = len(rn)
scale = int(pow(numc, 0.5))
maxr = scale*maxr
circles = [(randint(-maxr, maxr), randint(-maxr, maxr), r)
for r in rn]
return circles
if __name__ == '__main__':
minrad, maxrad = (3, 5)
numCircles = 400
rn = [((maxrad-minrad)*gauss(0,1) + minrad) for x in range(numCircles)]
circles = positionCircles(rn)
plotCircles(circles)
补充信息:google搜索结果中常用的circle packing算法不适用于此问题。
因此,另一个“Circle packing algorithm”的问题陈述是:给定复数 K(本文中的图称为单纯复形,简称为复数)和适当的边界条件,计算相应的圆填充的半径为K....
它基本上从一个图表开始,说明哪些圆圈相互接触(图表的顶点表示圆圈,边表示圆圈之间的接触/相切关系)。必须找到圆的半径和位置,以满足图形表示的接触关系。
另一个问题确实有一个有趣的观察(独立于这个问题):
圆堆积定理 - 每个圆堆积都有对应的平面图(这是容易/明显的部分),每个平面图都有对应的圆堆积(不太明显的部分)。图表和包装互为对偶,并且是唯一的。
在我们的问题中,我们没有平面图或切线关系作为起点。
这篇论文 - Robert J. Fowler、Mike Paterson、Steven L. Tanimoto:平面中的最优打包和覆盖是 NP 完全 - 证明了这个问题的最小版本是 NP 完全.但是,无法在线获取该论文(至少不容易)。
最佳答案
不是解决方案,只是头脑 Storm 的想法:IIRC 获得 TSP 近似解决方案的一种常见方法是从随机配置开始,然后应用局部操作(例如“交换”路径中的两条边)来尝试和得到越来越短的路径。 ( Wikipedia link )
我认为类似的东西在这里是可能的:
有趣的问题是:您可以在第 3 步中使用哪种“迭代改进运算符”?我们可以假设该阶段的位置是局部最优的,但可以通过重新排列大部分圆圈来改善它们。我的建议是通过圆圈任意选择一条线。然后取该线“左侧”的所有圆圈,并在垂直于该线的某个轴上镜像它们: 您可能会尝试多行并选择导致最紧凑解决方案的那一行。
想法是,如果某些圆圈已经处于或接近其最佳配置,则此操作很可能不会打扰它们。
我能想到的其他可能的操作:
然后您可以选择与最大圆圈间区域(图中红色区域)相邻的圆圈中的一个,并将其与另一个圆圈交换,或者将其移动到边界的某处。
(对评论的回应:)请注意,几乎可以保证这些“改进”中的每一个都会在圆圈之间产生重叠和/或不必要的空间。但在下一次迭代中,第 2 步将移动圆圈,使它们再次紧密排列且不重叠。这样,我可以一步进行局部优化(不关心全局优化),一步进行全局优化(这可能会创建局部次优解决方案)。这比一个复杂的步骤同时完成这两项操作要容易得多。
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我是一名优秀的程序员,十分优秀!