algorithm - 如何理解线性划分中的动态规划解法？

Question

我正在努力理解线性分区问题的动态规划解决方案。我正在阅读 Algorithm Design Manual问题在 8.5 节中描述。我已经无数次阅读该部分，但我就是不明白。我认为这是一个糟糕的解释(到目前为止我读到的内容要好得多)，但我无法很好地理解问题以寻找替代解释。欢迎链接到更好的解释!

我找到了一个页面，其中的文字与本书相似(可能来自本书的第一版):The Partition Problem .

第一个问题:书上的例子中分区是从小到大排序的。这只是巧合吗？据我所知，元素的顺序对算法并不重要。

这是我对递归的理解:

让我们使用以下序列并将其分成 4 个:

{S1...Sn} =  100   150   200   250   300   350   400   450   500
k = 4

第二个问题:这是我认为递归将如何开始的 - 我是否理解正确？

第一个递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200   250   300 | 350 | 400 | 450 | 500 //done

第二次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200   250 | 300   350 | 400 | 450 | 500 //done

第三个递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200 | 250   300   350 | 400 | 450 | 500 //done

第四次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150 | 200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //done

第五次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //1 partition to go
100 | 150   200   250   300   350 | 400 | 450 | 500 //done

第六次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200   250 | 300 | 350   400 | 450 | 500 //done

第七次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150   200 | 250   300 | 350   400 | 450 | 500 //done

第 8 次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100   150 | 200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //done

第 9 次递归是:

100   150   200   250   300   350   400   450 | 500 //3 partition to go
100   150   200   250   300   350   400 | 450 | 500 //2 partition to go 
100   150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //1 partition to go
100 | 150   200   250   300 | 350   400 | 450 | 500 //done

等...

这是书中出现的代码:

partition(int s[], int n, int k)
{
    int m[MAXN+1][MAXK+1];                  /* DP table for values */
    int d[MAXN+1][MAXK+1];                  /* DP table for dividers */ 
    int p[MAXN+1];                          /* prefix sums array */
    int cost;                               /* test split cost */
    int i,j,x;                              /* counters */
    
    p[0] = 0;                               /* construct prefix sums */
    for (i=1; i<=n; i++) p[i]=p[i-1]+s[i];
    
    for (i=1; i<=n; i++) m[i][3] = p[i];    /* initialize boundaries */
    for (j=1; j<=k; j++) m[1][j] = s[1];
    
    
    for (i=2; i<=n; i++)                    /* evaluate main recurrence */
        for (j=2; j<=k; j++) {
            m[i][j] = MAXINT;
            for (x=1; x<=(i-1); x++) {
                cost = max(m[x][j-1], p[i]-p[x]);
                if (m[i][j] > cost) {
                    m[i][j] = cost;
                    d[i][j] = x;
                }
            }
        }

    reconstruct_partition(s,d,n,k);         /* print book partition */
}

关于算法的问题:

1. m 和 d 中存储了什么值？
2. “成本”是什么意思？它只是分区内元素值的总和吗？还是有其他更微妙的含义？

Answer 1

注意书上对算法的解释有点小错误，看errata对于文本“(*) 第 297 页”。

关于您的问题:

1. 不，项目不需要排序，只是连续的(也就是说，你不能重新排列它们)
2. 我认为可视化算法的最简单方法是手动跟踪 reconstruct_partition 过程，使用图 8.8 中最右边的表作为指南
3. 在书中它指出 m[i][j] 是“将 {s1, s2, ... , si} 的所有分区的最小可能成本”分成 j 个范围，其中分区的成本是它的一个部分中元素的大和”。换句话说，如果您原谅滥用术语，它是“总和的最小最大值”。另一方面，d[i][j] 存储索引位置，它是用于为之前定义的给定对 i,j 进行分区
4. “成本”的含义，见上一个回答

编辑:

这是我对线性分区算法的实现。它基于 Skiena 的算法，但采用了 pythonic 方式；并返回分区列表。

from operator import itemgetter

def linear_partition(seq, k):
    if k <= 0:
        return []
    n = len(seq) - 1
    if k > n:
        return map(lambda x: [x], seq)
    table, solution = linear_partition_table(seq, k)
    k, ans = k-2, []
    while k >= 0:
        ans = [[seq[i] for i in xrange(solution[n-1][k]+1, n+1)]] + ans
        n, k = solution[n-1][k], k-1
    return [[seq[i] for i in xrange(0, n+1)]] + ans

def linear_partition_table(seq, k):
    n = len(seq)
    table = [[0] * k for x in xrange(n)]
    solution = [[0] * (k-1) for x in xrange(n-1)]
    for i in xrange(n):
        table[i][0] = seq[i] + (table[i-1][0] if i else 0)
    for j in xrange(k):
        table[0][j] = seq[0]
    for i in xrange(1, n):
        for j in xrange(1, k):
            table[i][j], solution[i-1][j-1] = min(
                ((max(table[x][j-1], table[i][0]-table[x][0]), x) for x in xrange(i)),
                key=itemgetter(0))
    return (table, solution)