algorithm - 这个算法的Big O分析是什么？

Question

我正在学习数据结构类(class)，但我不确定如何进行这个 Big O 分析:

sum = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
     for(j = 1; j < i*i; j++)
         if(j % i == 0)
             for(k = 0; k < j; k++)
                   sum++;

我最初的想法是，这是归约后的O(n^3)，因为最内层的循环只会在j/i没有余数和乘法时运行规则不适用。我的推理在这里正确吗？

Answer 1

这里暂时忽略外层循环，用i来分析它。

中间循环运行 i^2 次，并在 j%i == 0 时调用内部循环，这意味着你在 i 上运行它, 2i, 3i, ...,i^2，并且每次都运行到相关的j，这意味着内循环运行时间总和为:

i + 2i + 3i + ... + (i-1)*i  = i(1 + 2 + ... + i-1) = i* [i*(i-1)/2] 

最后一个相等来自sum of arithmetic progression .
以上是O(i^3)。

对从 1 运行到 n 的外循环重复此操作，您将获得 O(n^4) 的运行时间，因为你实际上有:

C*1^3 + C*2^3 + ... + C*(n-1)^3 = C*(1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3) = 
= C/4 * (n^4 - 2n^3 + n^2)

最后一个等式来自sum of cubes
而上面的是O(n^4)，这就是你的复杂度。