algorithm - 为什么 Dijkstra 算法不适用于负权重边？

Question

有人能告诉我为什么 Dijkstra 的单源最短路径算法假设边必须是非负的。

我说的只是边，而不是负权重循环。

Answer 1

回想一下在 Dijkstra 的算法中，一旦一个顶点被标记为“封闭”(并且不在开放集中)- 算法找到了到它的最短路径，并且永远不必开发这个再次节点 - 它假定开发到此路径的路径是最短的。

但是对于负权重——这可能不是真的。例如:

       A
      / \
     /   \
    /     \
   5       2
  /         \
  B--(-10)-->C

V={A,B,C} ; E = {(A,C,2), (A,B,5), (B,C,-10)}

来自A的Dijkstra会先开发C，后来找不到A->B->C

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编辑更深入的解释:

请注意，这很重要，因为在每个松弛步骤中，算法都假设“封闭”节点的“成本”确实是最小的，因此接下来要选择的节点也是最小的。

它的想法是:如果我们有一个开放的顶点，那么它的成本是最小的 - 通过将任何 正数 添加到任何顶点 - 最小性永远不会改变。
没有对正数的约束——上述假设不成立。

因为我们确实“知道”每个“闭合”的顶点都是最小的——我们可以安全地进行松弛步骤——而不用“回头看”。如果我们确实需要“回头看” - Bellman-Ford为此提供了类似递归 (DP) 的解决方案。