c++ - 计算平均值时的舍入误差

Question

我在 C++ 中遇到舍入错误的问题。如果我必须计算两个 float a 和 b 的平均值，那么为什么做 a+0.5*(b-a) 比(a+b)/2？我不明白为什么这两种计算方式应该有任何区别。

Answer 1

[免责声明:此答案假定 IEEE 754格式和语义。具体来说，我们假设 float 是 IEEE 754 binary32 格式，我们使用默认的 round-ties-to-even 舍入模式，并且中间表达式不是以扩展精度计算的 - 例如，因为FLT_EVAL_METHOD是 0。]

以下是首选 a + 0.5 * (b-a) 的一个可能原因:if a 和 b 是非常大且符号相同，则表达式 0.5 * (a + b) 中的中间量 a + b 可能溢出，给出无限结果或 float -点异常。相反，a + 0.5 * (b - a) 在那种情况下不会溢出。

然而，这个小优势应该与以下各项进行权衡:

• a + 0.5 * (b - a) 需要三个浮点运算； 0.5 * (a + b) 只需要两个。
• 在 a + b 不溢出的情况下，0.5 * (a + b) 总是提供正确的四舍五入的答案:也就是说，在给定目标类型的可表示性约束的情况下，它给出了对实际均值的最佳近似值。 (这不是完全显而易见，但不难证明:a + b 的幅度大于最小法线的两倍，在这种情况下，总和被正确舍入并且与 0.5 的乘法是精确的，或者 a + b 本身是精确计算的，然后与 0.5 的乘法是正确舍入的。无论哪种方式，在两个算术运算中的大多数都可能引入错误。)但是 a + 0.5 * (b - a) 将不总是给出正确舍入的平均值，事实上可能有数百万 ulp 的错误。考虑 a = -1.0 和 b = 1.0 + 2^-23 的情况。然后 a + 0.5 * (b - a) 给出 0.0。正确的平均值是 2^-24。
• 表达式 a + 0.5 * (b - a) 也可以 溢出，如果 a 和 b非常大，带有相反的 符号而不是相同的符号。在那种情况下，0.5 * (a + b) 不会溢出。
• a + 0.5 * (b - a) 比 0.5 * (a + b) 可读性差(非常轻微)；读者需要花更多时间思考才能弄清楚它在做什么。

鉴于上述情况，很难支持一般性建议，即应优先使用 a + 0.5 * (b - a) 而不是 0.5 * (a + b).