c++ - e^x 的无限和收敛到一个不正确的值

Question

我正在尝试实现一种无需使用阶乘即可计算 e^x 的方法。我通过获取每两个连续项之间的比率并通过将该比率乘以最后一项来计算下一项来做到这一点。所有这些都将添加到结果总和中，直到项小到无关紧要为止。

这适用于较小的 x 值。对于 x 的 “极端” 值，由于某种原因，这会中断。我试过 -50，它应该打印 1.9287498e-22(固定格式)。我得到的是 GNU GCC 中的 -56676.4235303065 和 VC++ 中的 2041.8329628977。两者都大错特错。这是我的代码:

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cout << fixed << setprecision(10) ;
    cout << "Enter x: " << endl;
    cin >> x;
    double sum = 0;
    long long i = 0;
    double term = 1;
    do
    {
        sum += term;
        term *= (x / (++i));
    } while (fabs(term) > 1e-10);
    cout << sum << endl;
}

这是我的问题:导致此错误仅出现的问题是什么 x 的大值，我该如何解决这个错误？，为什么 GNU GCC 和 VC++2017得到完全不同的答案？

Answer 1

此求和中的最大项比 double 的精度高约 10 个数量级: ~ 2.92e+20与 double 相比的 13 平方英尺或者。这些术语中的误差范围本身比您的求和结果大 ~30 个数量级。

因此，您的级数没有正确收敛也就不足为奇了，因为连续的项(相反的符号)可能不会抵消理论量。即使使用一些数值技巧，例如 Kahan-Neumaier 求和和在添加前对项进行排序，结果仍然只能减少到 ~6000。 .请注意，对于正 x 不会发生这种情况因为连续的任期不需要取消。

克服这个问题的一种方法是对 x 施加一个小的下限。 , 并使用平方取幂按比例放大到 x 的正确值.

更新:上述方法的实现:

// integer exponentiation by squaring (won't explain here)
double pow_square(double x, unsigned a)
{
   double r = 1.0;
   while (a > 0)
   {
      if (a % 2 == 1)
      {
         a--;
         r *= x;
      }
      a /= 2;
      x *= x;
   }
   return r;
}

// original method
double exp_original(double x, double e)
{
   double sum = 0.0;
   unsigned i = 0;
   double term = 1.0;
   do
   {
      sum += term;
      term *= (x / (++i));
   } while (fabs(term) > e);
   return sum;
}

// new adaptive method
double exp_new(double x, double e)
{
   static const double min_X = -3;

   // if within limit, simply use original function
   if (x >= min_X)
      return exp_original(x, e);

   // compute smallest possible scaling coefficient
   unsigned s = (unsigned)(x / (-min_X) + 0.5);
   double p = exp_original(x / s, e);
   return pow_square(p, s);
}

大范围测试 x值证实新方法可以更好地处理极值(负)情况:

x    | exp (C-library)    exp_original       exp_new
-------------------------------------------------------------
-10  | 4.53999297625e-05  4.53998989141e-05  4.53999299001e-05
-30  | 9.35762296884e-14  6.10299992426e-06  9.35762292245e-14
-50  | 1.92874984796e-22  2041.8329629       1.92874983803e-22
-60  | 8.7565107627e-27   722745700.93       8.75651067587e-27
-80  | 1.80485138785e-35  2.45082011705e+17  1.80485137011e-35
-100 | 3.72007597602e-44  8.1446527451e+25   3.72007589785e-44
-150 | 7.17509597316e-66  -9.14622659954e+47 7.1750957953e-66
-200 | 1.38389652674e-87  7.69097143891e+69  1.38389648613e-87