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我已经使用 GMP 库和 C++ 编写了 Gauss-Legendre 算法的实现代码来计算 pi 的位数。
它有正确的输出,但问题是我不知道输出在哪一点“变坏”,因为我必须在代码中指定精度。
这是使用 64 位精度的输出:3.141592653589793238*35*,最后两位数字不正确。
我的问题是,如果我想要 pi 的 n 位,b 的精度是多少,算法的迭代次数是多少 i 需要吗?
谢谢
最佳答案
Gauss-Legendre 算法(又名 AGM 算法)要求全程精确。
与牛顿法迭代不同,AGM 迭代不能 self 纠正。因此,您从一开始就需要完全精确。此外,您还需要额外的保护数字。
My question is, if I want
n
digits of pi, how many bits of precisionb
will be needed?
首先,您需要将 n
(十进制)位转换为 b
二进制位。那将是:
log(10)
b = n ---------- + epsilon
log(2)
其中 epsilon
是保护数字的数量。您需要多少取决于实现和舍入行为,但通常 100 位对于任何 # 次迭代都绰绰有余。
至于你需要多少次迭代。这可以通过经验证据找到。
这是我编写的一个小应用程序的输出,该应用程序使用 Gauss-Legendre 算法将 Pi 计算到 1 亿位数字:
================================================================
Computing pi to 100000000 digits:
Threads: 8
Starting AGM... 1.394965 seconds
Starting Iteration 0... -3 (error in decimal digits)
Starting Iteration 1... -9
Starting Iteration 2... -20
Starting Iteration 3... -42
Starting Iteration 4... -85
Starting Iteration 5... -173
Starting Iteration 6... -347
Starting Iteration 7... -696
Starting Iteration 8... -1395
Starting Iteration 9... -2792
Starting Iteration 10... -5586
Starting Iteration 11... -11175
Starting Iteration 12... -22352
Starting Iteration 13... -44706
Starting Iteration 14... -89414
Starting Iteration 15... -178829
Starting Iteration 16... -357661
Starting Iteration 17... -715324
Starting Iteration 18... -1430650
Starting Iteration 19... -2861302
Starting Iteration 20... -5722607
Starting Iteration 21... -11445216
Starting Iteration 22... -22890435
Starting Iteration 23... -45780871
Starting Iteration 24... -91561745
Starting Iteration 25... -183123492
AGM: 118.796792 seconds
Finishing... 3.033239 seconds
Radix Conversion... 2.924844 seconds
Total Wall Time: 126.151086 seconds
CPU Utilization: 495.871%
CPU Efficiency: 61.984%
Writing to "pi.txt"... Done
因此,对于 1.83 亿个数字,25 次迭代就足够了。同样,每次迭代它都会加倍,因此您可以运行一些基本的对数数学运算来计算您需要多少次迭代。
关于c++ - 计算 pi 的位数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/14162335/
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