c++ - Runge-Kutta 算法 C++

Question

下面是我用于求解一阶 ODE 的四阶 Runge-Kutta 算法。我正在根据找到的维基百科示例检查它 here解决:

\frac{dx}{dt} = tan(x) + 1

不幸的是，它有点出局了。我已经玩了很长时间，但我找不到错误。答案应该是 t = 1.1 和 x = 1.33786352224364362。下面的代码给出了 t = 1.1 和 x = 1.42223。

/*

This code is a 1D classical Runge-Kutta method. Compare to the Wikipedia page.

*/

#include <math.h> 
#include <iostream>
#include <iomanip>

double x,t,K,K1,K2,K3,K4;

const double sixth = 1.0 / 6.0;

static double dx_dt(double t, double x){
    return tan(x) + 1;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

/*======================================================================*/
/*===================== Runge-Kutta Method for ODE =====================*/
/*======================================================================*/

double t_initial = 1.0;// initial time
double x_initial = 1.0;// initial x position

double t_final = 1.1;// value of t wish to know x 
double dt = 0.025;// time interval for updates
double halfdt = 0.5*dt;

/*======================================================================*/

while(t_initial < t_final){

    /*============================ Runge-Kutta increments =================================*/ 

    double K1 = dt*dx_dt( t_initial, x_initial );
    double K2 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + halfdt*K1 );
    double K3 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + halfdt*K2 );
    double K4 = dt*dx_dt( t_initial + dt, x_initial + dt*K3 );

    x_initial += sixth*(K1 + 2*(K2 + K3) + K4);

    /*============================ prints =================================*/

    std::cout << t_initial << std::setw(16) << x_initial << "\n";

    /*============================ re-setting update conditions =================================*/

    t_initial += dt;

    /*======================================================================*/
}

std::cout<<"----------------------------------------------\n";
std::cout << "t =  "<< t_initial << ",  x =  "<< x_initial << std::endl; 


}/* main */

Answer 1

问题是您的代码所用的画面与您在维基百科中引用的代码所用的画面不同。您使用的是这个:

0   |
1/2 |   1/2
1/2 |   0       1/2
1   |   0       0       1   
-------------------------------------
    |   1/6     1/3     1/3     1/6

维基百科中使用的是

0   |
2/3 |   2/3     
---------------------
    |   1/4     3/4

不同的画面会根据步长产生不同的结果，这是make sure that the step-size is good enough for a certain accuracy的方式。 .但是，当 dt -> 0 时，所有画面都相同。

除此之外，即使对于 RK4，您的代码也是错误的。函数的第二部分应该有一半，而不是 0.5*dt:

double K1 = dt*dx_dt( t_initial, x_initial );
double K2 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + 0.5*K1 );
double K3 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + 0.5*K2 );
double K4 = dt*dx_dt( t_initial + dt, x_initial + K3 );