c++ - 最大化二分法的 GCD(最大公约数)之和？

Question

给定一个正数数组。我想将数组拆分为 2 个不同的子集，以使它们的 gcd(最大公约数)之和最大。

示例数组:{6,7,6,7}。

答案:需要的两个子集是:{6,6}和{7,7}；它们各自的 gcd(s) 是 6 和 7，它们的 sum = 6+7=13；这是可能的最大 gcd 总和。

Gcd:{8,12} 的 Gcd 是 {4}，因为 4 是 8 和 12 的最大数。

注意:gcd(X)=X 如果子集只包含一个元素。

我的方法:通过暴力破解，找到数组所有可能的子序列，然后找到最大和，但如果输入大小大于 30 个数字，这将不起作用。我正在寻找更有效的方法。

Extra(s): 任何输入数字的最大大小为 10^9 ，时间限制:-1s 似乎不错，输入的大小可能与 10^5 一样大

Answer 1

我觉得这其实是一个容易的问题。

首先，让我们忽略值出现不止一次的可能性。显然，最好将一个值的所有拷贝放在同一个集合中，因为将其中一些拷贝移到别处只会损害 GCD(编辑:，除非只有一个不同的值)。所以我们假设所有元素都是不同的。此外，令 M 为任何元素的最大值。

这样想:有一个简单的解决方案，将最高元素放在一侧，将所有其余元素放在另一侧。 “其余所有”- GCD 可能为 1(当然可能更高)，因此此解决方案为您提供 M+1。

具有多个不同元素的任何输入子集的 GCD 都不能高于 M/2(因为这样的一个除数必须乘以另一个至少为 2 的除数才能得到原始值，不高于 M)。所以编辑:最佳解决方案不能由两个集合组成，每个集合都有多个不同的元素。它必须是一个元素与所有其他元素。

现在考虑两个最高的元素，对于某些 d 具有值 M 和 M-d。如果我们不选择它们中的任何一个作为单例，则它们都在大组侧，这意味着该组的 GCD 最多为 d(因为如果 g|M 和 g|M-d 则 g|d)；并且单例的贡献不会超过 M-d-1。所以总分最多为 M-1——也就是说，小于我们在选择最高值时得到的分数。 因此，输入中的最高值或第二高(不同)值必须在其自己的集合中。

因此，您必须执行以下操作:

• 处理只有一个不同值的微不足道的情况。
• 否则，获取最高的2个元素；.
• 计算所有 n-2 个最低元素的 GCD g_0。
• 计算 GCD 的 g_with_highest = GCD(g_0, M) 和 g_with_second_highest = GCD(g_0, M-d)。
• 通过比较 M + g_with_second_highest 与 (M-d) + g_with_highest 来选择单例。