c++ - 逆总函数

Question

给定n ，我想找到这样的 phi(i) = n . n <= 100,000,000 .i = 202918035 for n = 99683840 的最大值.我想解决this problem

我的方法是预先计算所有数字的 totient 函数，直到最大值 i .为此，我首先找到最大为 i 的所有质数。使用 erathronese 筛。在筛选时记录质数的总和。然后使用

然后我在 phi 中搜索输入号码数组和打印结果输出。但它给的时间限制超过了。什么可以在预计算中进一步优化，或者有更好的方法来做到这一点？

我的代码是:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

using namespace std;

int* Prime = (int*)malloc(sizeof(int) * (202918036 >> 5 + 1));
int* pos = (int*)malloc(sizeof(int) * (11231540));
int* phi = (int*)malloc(sizeof(int) * 202918036);

#define prime(i) ((Prime[i >> 5]) & (1 << (i & (31))))
#define set(j) (Prime[j >> 5] |= (1 << (j & (31))))
#define LIM 202918035
#define SLIM 14245

int sieve() {
    int i, j, m, n, t, x, k, l, h;
    set(1);
    phi[0] = 0;
    phi[1] = 0;
    pos[1] = 2;
    phi[2] = 1;
    pos[2] = 3;
    phi[3] = 2;
    for (k = 2, l = 3, i = 5; i <= SLIM; k++, i = 3 * k - (k & 1) - 1)
    if (prime(k) == 0) {
        pos[l++] = i;
        phi[i] = i - 1;
        for (j = i * i, h = ((j + 2) / 3); j <= LIM; h += (k & 1) ? (h & 1 ? ((k << 2) - 3) : ((k << 1) - 1)) : (h & 1 ? ((k << 1) - 1) : ((k << 2) - 1)), j = 3 * h - (h & 1) - 1)
        set(h);
    }

    i = 3 * k - (k & 1) - 1;
    for (; i <= LIM; k++, i = 3 * k - (k & 1) - 1)
    if (prime(k) == 0) {
        pos[l++] = i;
        phi[i] = i - 1;
    }
    return l;
}

int ETF() {
    int i;
    for (i = 4; i < LIM; i++) {
        if (phi[i] == 0) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (i % pos[j] == 0) {
                    int x = pos[j];
                    int y = i / x;
                    if (y % x == 0) {
                        phi[i] = x * phi[y];
                    } else {
                        phi[i] = phi[x] * phi[y];
                    }
                    break;
                }
            }
        }
    }
}

int search(int value) {
    for (int z = 1; z < LIM; z++) {
        if (phi[z] == value) return z;
    }
    return -1;
}


int main() {

    int m = sieve();

    int t;
    ETF();

    scanf("\n%d", &t);
    while (t--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        if (n % 2 == 1) {
            printf("-1\n");
        } else {
            int i;
            i = search(n);
            if (i == -1) printf("-1\n");
            else printf("%d\n", i);
        }

    }
    return 0;
}

Answer 1

这个

     for(int j=1;j<i;j++)
     {            
        if(i%pos[j]==0)
        {

表示您正在通过试验除法找到 i 的最小质因数。这使得你的算法 O(n^2/log^2 n)，因为大约有 n/log n 个素数不超过 n，对于素数 i，您测试所有不超过 i 的素数。

如果您使用筛子找到最小的 [或任何] 素因子，您可以获得更快的算法(尽管我怀疑它是否足够快)。这是对 Eratosthenes 筛法的简单修改，而不是仅仅将数字标记为合数，而是将素数存储为该数字的因数。在用每个数字的质因数填充筛子后，您可以像您一样计算 totient

phi[i] = p*phi[i/p]

如果 p² 除 i 或

phi[i] = (p-1)*phi[i/p]

如果没有。

使用该方法计算 totients 是 O(n*log n) [甚至可能是 O(n*log log n)，我还没有分析过还没有详细]算法。

进一步，你的搜索

int search(int value) {
    for (int z = 1; z < LIM; z++) {
        if (phi[z] == value) return z;
    }
    return -1;
}

非常慢。您可以创建一个查找表来进行 O(1) 查找。