c++ - 如何在 C++ 中计算 A、B、C <= 10^18 的 (A*B)%C？

Question

例如，A=10^17，B=10^17，C=10^18。
A*B 的乘积超出了 long long int 的限制。
此外，编写 ((A%C)*(B%C))%C 也无济于事。

Answer 1

假设您希望保留在 64 位整数运算范围内，您可以使用二进制长除法，它归结为一堆加法和乘法运算。这意味着您还需要这些运算符的防溢出版本，但它们相对简单。

下面是一些 Java 代码，它假设 A 和 B 已经是正数并且小于 M。如果不是，很容易事先使它们如此。

// assumes a and b are already less than m
public static long addMod(long a, long b, long m) {
    if (a + b < 0)
        return (a - m) + b;  // avoid overflow
    else if (a + b >= m)
        return a + b - m;
    else
        return a + b;
}

// assumes a and b are already less than m
public static long multiplyMod(long a, long b, long m) {
    if (b == 0 || a <= Long.MAX_VALUE / b)
        return a * b % m;   // a*b > c if and only if a > c/b
    // a * b would overflow; binary long division:
    long result = 0;
    if (a > b) {
        long c = b;
        b = a;
        a = c;
    }
    while (a > 0) {
        if ((a & 1) != 0) {
            result = addMod(result, b, m);
        }
        a >>= 1;
        // compute b << 1 % m without overflow
        b -= m - b; // equivalent to b = 2 * b - m
        if (b < 0)
            b += m;
    }
    return result;
}