c++ - 数论算法。段上的大多数除数

Question

我正在寻找一种有效的算法来解决以下问题。让d(n)表示 n 的正因子数其中 n是正整数。我们得到了一些 1 <= a <= b <= 10^18任务是找到 d 的最大值在段 [a..b]并且(这部分我们可能需要更复杂的算法)找到最大化 d 值的数字.

前段时间在free access中发现了如下代码:http://ideone.com/qvxPj

unsigned long long n, res;
int p, primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 67, 71};

unsigned long long mul(unsigned long long a, unsigned long long b){
    unsigned long long res = 0;

    while (b){
        if (b & 1LL) res = (res + a);
        if (res >= n) return 0;
        a = (a << 1LL);
        b >>= 1LL;
    }

    return res;
}

void backtrack(int i, int lim, unsigned long long val, unsigned long long r){
    if (r > res) res = r;
    if (i == p) return;

    int d;
    unsigned long long x = val;

    for (d = 1; d <= lim; d++){
        x = mul(x, primes[i]);
        if (x == 0) return;
        backtrack(i + 1, d, x, r * (d + 1));
    }
}

int main(){    
    p = sizeof(primes) / sizeof(int);

    while (scanf("%llu", &n) != EOF){
        res = 0;
        backtrack(0, 100, 1, 1);
        printf("Maximum number of divisors of any number less than %llu = %llu\n", n, res);
    }
    return 0;
}

如果有人向我解释它是如何工作的，我将非常高兴，因为(对我而言)这个程序运行得非常快。

在此先感谢您的帮助。

Answer 1

它像这样遍历所有数字:

num = P1^D1 * P2^D2 * P3^D3 * ... * Ps^Ds
constraints:
  Pi <= 71
  1 <= Di <= 100
  sequence (Pi) is a sorted list of first s primes
  sequence (Di) is nonincreasing
  num <= n

让我们检查第一个约束。假设最小最优数有素因子 q > 71。如果这个数中没有使用任何质数p <= 71，那么我们可以用相同次方的p替换q。显然，除数的数量将保持不变，但数量会减少 -> 矛盾。则没有小于 71 的未使用素数。但是直到 71 的所有素数的乘积已经如此巨大，以至于我们考虑的数必须大于 64 位 n。这是不可能的。

现在让我们解释第二个和第三个约束条件。假设我们的最小最优数在其因式分解中有一个素数 q，但没有一些素数 p，其中 p < q。然后我们可以用 p 以相同的顺序替换 q ，数字将具有相同数量的约数，但它会变得更少 -> 矛盾。这意味着所寻求的最佳(最小)数的因式分解中的所有素数必须恰好是前 s 个素数。使用的素数集合中不能有空洞。顺便说一句，Di <= 100 很明显，因为即使 2^100 也不适合 64 位整数。

现在我们要解释第四个约束。假设 D[i] < D[i+1] 对于某些 i。然后我们可以将 P[i]^D[i] * P[i+1]^D[i+1] 替换为 P[i]^D[i+1] * P[i+1]^D[i]，数字会变小。例如，将 5^2 * 7^3 替换为 5^3 * 7^2:除数相同，但结果较小。显然，如果我们搜索最小最优数，我们也可以安全地假设这个条件。

现在让我们考虑一下代码。mul 是一个计算a 和b 乘积的小函数。它是通过一个有趣的二进制程序计算出来的。此过程的主要原因是:如果乘积大于 n，则函数返回 0。此过程只是防止可能发生的溢出。

最后，我们要回溯。这是一个通常的递归搜索。 val 是当前数，r 是它的除数，i 显示我们现在要添加的素数的索引，lim 将每个素数的幂限制为 100。在一开始，您会看到当前最佳答案的更新(存储在 res 中)和硬停止条件(使用所有素数)。

然后有一个循环检查当前素数的每个幂。它从幂 1 开始，因为零幂是被禁止的。它在 x 中维护当前数字，并在每次迭代时将其乘以 Pi 以增加功率。如果 x 变得大于 n，它会立即停止。最后，它调用自身以搜索下一个素数。