c++ - 有没有一种简单的方法可以在 C/C++ 中计算具有以下特征的 "smooth"函数？

Question

为了首先指定一些事情:用户应该能够通过在 2D 字段上指定 3 到 5 个点来创建图形。第一个点和最后一个点始终位于该字段的边界(它们的位置只能在 y 方向上更改 - 而不是 x)。这些位置的图的推导应该是0。第 3 点以后的位置可以任意指定。应该插入一个图表，它经过所有的点。但是，此图应尽可能平滑和平坦。 (请为不正确的数学道歉)

重要的是:之后我需要对该图的值进行采样并将它们应用于离散信号。第二件事:在 x 轴的范围内，函数的值不应超过 y 轴上的边界。在我的图片中，y 轴上的值为 0 和 1。我用 3 点创建了一些图片来说明我在说什么。

我的一些想法:

1. 使用(三次？)样条曲线:可以应用它们的特性来形成此类曲线，而不会出现太多问题。但是，据我所知，它们与全局 x 轴无关。它们是相对于下一个点指定的，通过一个通常称为 (s) 的参数。因此，很难对与 x 轴相关的图形值进行采样。有错请指正。
2. 创建一个矩阵，其中包含点和这些点的导数，并使用 LU 分解或等效方法求解该矩阵。

到目前为止，我还没有深入了解这些技术，所以我可能会错过一些我还不知道的伟大技术或算法。

还有一件事，如果能够做到那就太好了:能够通过改变一个或几个参数来调整曲线的陡度。我在我的一些图片中使用红色和黑色图表来说明这一点。有什么想法或提示可以有效地解决这个问题吗？

Answer 1

您了解样条曲线是如何得出的吗？

做样条线总结

你根据控制点将范围分成几 block (在控制点处拆分或在它们之间放置中断)，并将一些参数化函数放入每个子范围，然后通过控制点约束函数，人为引入端点约束和段间约束。

如果您正确计算了自由度和约束，您将得到一个可解的方程组，它会根据控制点告诉您正确的参数，然后您就可以开始了。

结果是分段函数的一组参数。通常是分段连续且可微分的函数，否则还有什么意义。

在这种情况下如何使用它

因此考虑使每个内部点成为将被类峰函数(可能是线性背景上的高斯函数)占据的片段的中心，并使用端点作为约束。

对于 n 总分，如果每个段都有 D 参数，您将有 D*(n-2) 参数。你有四个终点约束 f(start)=y_0, f(end)=y_n, f'(start) = f'(end) = 0)，以及段之间的一些匹配约束:

f_n(between n and n+1) = f_n+1(between n and n+1)
f'_n(between n and n+1) = f'_n+1(between n and n+1)
...

此外，每个段都受到它与控制点的关系的限制(通常是 f(point n) = y_n 或 f'(point n) = 0 或两者兼而有之(但你可以决定)。

您可以拥有多少匹配约束取决于自由度的数量(约束总数必须等于 DoF 总数，对吧？)。您必须以 f''(start) = 0 的形式引入一些额外的端点约束......才能正确处理。

到那时，您只是在学习大量繁琐的代数知识，以了解如何将其转化为可以通过矩阵求逆求解的大型线性方程组。

大多数数值方法书籍都会涵盖这些内容。