c++ - 为什么插入到堆中比插入到未排序的列表中更快？

Question

在我的堆和未排序列表中插入 100000000 个元素后，似乎堆插入实际上更快(12 秒 vs 20 秒)。为什么是这样？我相信堆插入是 O(logn) 而未排序的列表插入是 O(1)。我还注意到我的堆插入实现实际上并没有随着输入的数量而扩展。这也让我很困惑。

这是我运行的代码:

int main ()
{
    clock_t unsortedStart;
    clock_t heapStart;

    double unsortedDuration;
    double heapDuration;

    int num_pushes = 100000000;
    int interval = 10000;

    ofstream unsorted ("unsorted.txt");
    ofstream heap ("heap.txt");

    UnsortedPQ<int> unsortedPQ; 
    HeapPQ<int> heapPQ; 

    unsortedStart = clock();

    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            unsortedDuration = ( clock() - unsortedStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            unsorted << unsortedDuration << " " << i << endl;
        }

        unsortedPQ.insertItem(rand() % 100);
    }

    heapStart = clock();
    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            heapDuration = ( clock() - heapStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            heap << heapDuration << " " << i << endl;
        }
        heapPQ.insertItem(rand() % 100);
    }
    return 0;
}

这是插入的堆实现(使用std::vector):

template <class T>
void HeapPQ<T>::insertItem(T data) { 
    //insert into back of heap (std::vector)
    dataArray.push_back(data);
    int i = dataArray.size() - 1;

    //sifts the inserted element up
    while (i != 0 && dataArray[(i - 1) / 2] > dataArray[i]) {
        swap(dataArray[i], dataArray[(i - 1) / 2]);
        i = (i - 1) / 2;
    }
}

这是插入的未排序列表实现(使用 std::list):

//pushes element to the back of a std::list
template <class T>
void UnsortedPQ<T>::insertItem(T data) { dataList.push_back(data); }

Answer 1

堆中的插入是O(logn)，这意味着每次插入最多需要O(logn) 步。这并不意味着它必须。

在您的示例中，插入元素的平均成本是 O(1)。为什么？

为简单起见，假设您仅以随机顺序插入 0a 和 1(在您当前的版本中，仅插入数字 0..99 (rand() % 100) 被插入 - 计算更复杂，但行为保持不变)。插入2*n个元素后，大约有n个0和n个1s 在堆中，堆将如下所示:

                                 0
                                0 0
                               00 00
                          ...............
                         0 0 0  0  0  0  0
                       11 11 11 11 11 11 11

所以基本上，1 都在最后一层 k 和 0 都在 0..k- 1。

1. 如果插入了1，则无事可做(上面没有2)。
2. 如果 0 被插入，则最多有一个交换(1 可能在最后一级之上的一级，但在 2 级之上)。

平均而言，我们只需要 0.5 次交换而不是 k。

具有相同的渐近运行时间，这完全取决于插入 vector 和列表的(摊销)成本。该列表似乎更慢(我的假设是，对于每个插入，它都需要通过 new 在堆上分配一个元素，这是一个非常慢的操作。成本取决于其他因素，例如插入对象的大小，因此可能会有所不同，哪个更快)。

---

让我们仔细看看您的案例，其中数字是由均匀分布 [0..99] 生成的。在 n>>100 次插入后，我们将遇到以下情况(涉及一些挥手，但要点应该很清楚):

1. 堆的最后一层(k-th)有 n/2 个元素，由数字 50..99 组成。因此，对于 50% 的可能数字(即 50..99)，不需要转换。
2. 堆的倒数第二层(k-1-th)有 n/4 个元素，由数字 25..49。这意味着对于 25% 的可能数字，恰好需要 1 个类次。
3. k-2 层有 n/8 个元素，由数字 13..24 组成。
4. log 100/log 2 以上的级别内部只有 0。因此，可能的最大移位数是 m=log 100/log 2，与 n - 堆中元素的数量无关。

所以插入的最坏情况成本是 log 100/log 2，平均成本甚至更小:

E(insertion)=0*1/2+1*1/4+2*1/8+...<=1.0

即平均而言，我们每次插入的类次少于 1 次。

注意:这并不意味着在堆中插入的摊销成本为 O(1) - 如果您不按随机顺序插入数字，而是首先插入所有 99s，然后是 98s，...，然后是 0s，每次插入的成本为 O(log n)。