c++ - 在 C++ 中进行数学运算时，浮点错误如何传播？

Question

假设我们声明了以下变量

float a = 1.2291;

float b = 3.99;

float 变量的精度为 6，这(如果我理解正确的话)意味着计算机实际存储的数字与您想要的实际数字之间的差异将小于 10 ^-6

这意味着 a 和 b 都有一些小于 10^-6

的误差

所以在计算机内部 a 实际上可能是 1.229100000012123 而 b 可能是 3.9900000191919

现在假设您有以下代码

float c = 0;
for(int i = 0; i < 1000; i++)
      c += a + b;

我的问题是，

c 的最终结果是否也会有小于10^-6 的精度误差？

如果答案是否定的，我们如何才能真正知道这个精度误差，以及如果您应用任何类型的操作，按您希望的次数和以任何顺序到底会发生什么？

Answer 1

float variables have precision 6, which (if I understand correctly) means that the difference between the number that the computer actually stores and the actual number that you want will be less than 10^-6

that means that both a and b have some error that is less than 10^-6

10^-6 数字是将任意常量表示为 float 时相对 精度的粗略度量。并非所有数字都将以 10^-6 的绝对误差表示。例如，数字 8765432.1 可以近似地表示为单位。如果您至少有点幸运，当将其表示为 float 时，您会得到 8765432。另一方面，1E-15f 的绝对误差最多约为 10^-21。

so inside the computer a could actually be 1.229100000012123 and b could be 3.9900000191919

不，抱歉，它的工作方式不是您写下整个数字并为可能的错误添加六个零。可以通过计算从前导 数字开始的六个零来估计错误，而不是从最后一个数字开始。在这里，您可能期望 1.22910012123 或 3.990000191919。

(实际上你会得到 1.2290999889373779296875 和 3.9900000095367431640625。不要忘记表示误差可以是负数也可以是正数，因为它是第一个数字。)

now let's say that you have the following code […]

my question is,

will c's final result have a precision error that is less than 10^-6 as well or not?

没有。总绝对误差将是 a 和 b 每次使用它们的所有表示误差的总和，加上您所做的 2000 次添加的误差.那是 4000 个不同的错误来源!它们中的许多将是相同的，其中一些将恰好相互补偿，但最终结果可能不会达到 10^-6 的相对精度，更像是 10^-5 相对准确度(在不计算的情况下完成的建议)。