javascript - 如何将椭圆分成相等的部分？

Question

计算椭圆上的顶点坐标:

function calculateEllipse(a, b, angle) 
{
    var alpha = angle * (Math.PI / 180) ;
    var sinalpha = Math.sin(alpha);
    var cosalpha = Math.cos(alpha);

    var X = a * cosalpha - b * sinalpha;
    var Y = a * cosalpha + b * sinalpha;
}

但是如何计算“Angular ”以获得相等或大致相等的圆周段？

Answer 1

因此，根据 Jozi 在 OP 的评论中所说的，需要的不是如何将椭圆分割为相等的段(这需要一大堆可怕的积分)，而是从大致相等长度的线段构造一个椭圆.

There are a whole pile of ways to do that ，但我认为最适合 OP 目的的是同心圆方法，在页面上列为“绘图员方法”。如果您不介意安装 Mathematica 播放器，这里有一个简洁的 lil' 应用程序 here以交互方式说明。

这些方法的问题在于，在低偏心率下，线段长度仅大致相等。如果你处理极端的怪癖，事情就会变得复杂得多。我能想到的最简单的解决方案是线性近似每个象限内的线段长度，然后精确求解该象限内端点的位置。

详细说明:这是一个参数为 a = 5, b = 1 的椭圆象限:

这是 length of the arc subtended by an infinitesimal change in the angle 的情节, 在每个 Angular :

x 轴是 Angular ，以弧度表示，y 轴是 Angular 变化 1 弧度所对应的弧长。可以使用我刚刚链接的维基百科文章中的方程导出的公式是 y = Sqrt(a^2 Sin^2(x) + b^2 Cos^2(x)) .但需要注意的重要一点是，此函数的积分 - 这条曲线下的面积 - 是整个象限中弧的长度。

现在，我们可以用一条直线来近似它:

具有梯度 m = (a-b)/(Pi/2) 和 y 截距 c = b。使用简单的几何图形，我们可以推断出红色曲线下方的面积为 A = (a+b)*Pi/4。

利用这些知识，以及曲线下面积是曲线总长度的知识，构造椭圆近似值的问题简化为找到一个 midpoint-rule quadrature。 (其他正交也可以，但这是最简单的)红线，使得每个矩形的面积相等。

将该句子转换为方程式，并用左边界 x 及其宽度 w 表示矩形在正交图中的位置，我们得到:

(v*m)*w^2 + (m*x+c)*w - A/k == 0

其中 k 是我们要用来近似象限的 block 数，v 是我稍后会提到的权重函数。这可用于通过首先设置 x0 = 0 并求解 w0 来构造正交，然后用于设置 x1 = w0 和求解 w1。然后设置 x2 = w1，等等，直到您获得所有 k 左侧边界点。第 k+1 个边界点显然是 Pi/2。

权重函数 v 有效地表示矩形与红线的交点。常量 v = 0.5 等价于它从中间穿过，得到 10 分:

但您可以尝试一下，看看什么能更好地平衡这些点。理想情况下，它应保持在 [0, 1] 范围内，您使用的值的总和应为 k/2。

如果您想要一个更好的近似值而不用弄乱加权函数，您可以尝试用最小二乘法拟合一条线而不是仅仅将它拟合到端点，或者您可以尝试将三次多项式拟合到蓝色曲线而不是线性多项式。这需要求解四次方程，但如果您手头有数学包，那应该不是问题。