java - 查找整数的最小 "factorization"到平方数

Question

我要解决的问题:

给定一个 int n，将此 int 的最小“因式分解”返回为所有正方形的数字。
我们在这里定义因式分解不是通常的方式:k 到 m 数字(m1, m2, m3...)的因式分解将是这样:m1 + m2 + m3 + ... = k。

例如:令n = 12。最佳解决方案是:[4,4,4] 因为 4 是 2 的平方并且 4 + 4 + 4 = 12。还有 [9,1,1,1] 虽然它不是最小的，因为它是 4 个数字而不是前者的 3 个。

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我试图解决这个问题:

我的想法是给定数字n，我们将执行以下算法:
首先，我们将找到最接近 n 的平方数(例如，如果 n = 82，我们将找到 81。
然后我们将递归地计算我们得到的数字减去最接近它的平方。
这是一个流程示例:假设 n = 12 并且我们的函数是 f，我们计算 f(3) UNION {9} 然后 f(12-4) UNION {4} 然后 f(12-2) UNION { 2}。从每一个中我们得到一个方形组合列表，我们从中获取最小列表。我们将它们保存在 HashMap 中以避免重复(动态编程风格)。

Java 中的代码尝试(不完整):

public List<Integer> getShortestSquareList(int n){
    HashMap<Integer,List<Integer>> map = new HashMap<Integer,List<Integer>();
    map.put(1, 1);
    List<Integer> squareList = getSquareList(n);
    return internalGetShortestSquareList(n, map, squareList);
}

List<Integer> getSquareList(int n){
    List<Integer> result=new ArrayList<Integer>();
    int i = 1;
    while(i*i <= n){
        result.add(i*i);
        i++;
    }
    return result;
}

public int getClosestSquare(int n,List<Integer> squareList){
    // getting the closestSquareIndex
}

public List<Integer> internalGetShortestSquareList(int n, HashMap<Integer m, HashMap<Integer,List<Integer>> map, List<Integer> squareList){
    if (map.contains(n)) {return map.get(n);}
    int closestSqureIndex=getClosestSquare(m,squareList);
    List<Integer> minSquareList;
    int minSize=Integer.MAX_INT;

    for(int i=closestSqureIndex; i>-1; i--) {
            int square = squareList.get(closestSqureIndex);
            List<Integer> tempSquares= new ArrayList<Integer>(square);
            tempSquares.addAll(f(n-square, map, squareList));

            if (tempSquares.size() < minSize) {
                minSize = tempSize;
                minSquareList = tempSquares;
            }

    }
    map.put(n, minSquareList);       
    return map.get(n);              
}

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我的问题:

看来我的解决方案不是最优的(imo)。我认为我的解决方案的时间复杂度是 O(n)*O(Sqrt(n)) 因为最大递归深度是 n 并且子节点的最大数量是平方(n)。我的解决方案可能充满了错误——目前这对我来说无关紧要。我将不胜感激任何指导以找到更优化的解决方案(伪代码或其他)。

Answer 1

基于@trincot 的 link , 我会建议一个简单的 O(n sqrt n)算法。这个想法是:

1. 对小于或等于 n 的方 block 进行穷举搜索找出是否n是一个正方形本身，或者是任何两个或三个小于 n 的正方形之和.这可以在 sqrt(n)^3 中完成时间，即 O(n sqrt n) .
2. 如果失败，则找到 n 的“因式分解”在四个方 block 中。

递归查找数字的四次分解 m ，现在分为三种情况:

1. m是素数，m mod 4 = 1 .根据math ，我们知道 n是两个正方形的乘积。简单的详尽搜索或更“数学”的方法都应该给出一个简单的答案。
2. m是素数，m mod 4 = 3 .这种情况仍然需要计算出细节，但可以使用 link 中描述的数学来实现。 .
3. m是合数。这是递归的情况。首先分解 m在两个因素中，即整数 u和 v这样u*v=m .出于性能原因，它们应该尽可能接近，但这是次要细节。

然后，递归地找到 u 的 4 次因式分解和 v .

然后，使用 the formula :

(a^2+b^2+c^2+d^2) (A^2+B^2+C^2+D^2) = (aA+bB+cC+dD)^2 + (aB-bA+cD-dC)^2 + (aC-bD-cA+dB)^2 + (aD-dA+bC-cB)^2

找到 m 的四次分解.我在这里表示 u = (a^2+b^2+c^2+d^2)和 v = (A^2+B^2+C^2+D^2) ，因为此时已知它们的 4 分解。