java - 无法找到为 Mandelbrot 着色的方法 - 设置我的目标方式

Question

我已经成功地为 Mandelbrot 集着色，尽管在它变得“模糊”并且图案停止之前我无法放大很远。我通过增加 max_iteration 来解决这个问题，这很有效，但是在 *1 放大倍数下我得到的颜色很少，只有在放大时才会出现很多颜色。我理解为什么会发生这种情况，因为在“真正的”Mandelbrot 集中没有颜色和增加 max_iterations 只会让它更接近那个。但我的问题是，youtube 上的缩放如何在整个缩放过程​​中拥有美丽的色彩，同时仍然能够永远放大的感觉？

我试过在网上到处寻找，但找不到解决方案，当我查看这些 YouTube 缩放的描述时，它们似乎几乎没有提供任何有关如何进行缩放的信息。

这只是绘制 Mandelbrot 集的代码部分。下面的代码是用 processing 编写的，它是添加了可视化库的 java。您可以在此处找到有关该计划的更多信息:https://processing.org/

//m is max_iterations
//mb is the function which calculates how many iterations each point took to escape to infinity. I won't be including the function since I know it works fine and it's quite messy.
//i'm using a HSB/HSV system to draw the mandelbrot

hue=(mb(x, y, m)*360)/m;
sat=255;
if (mb(x, y, m)<m) {
  val=255;
} 
else {
  val=0;
}

stroke(hue,sat,val);
point(x, y);

我明白我的问题为什么会发生，但我不知道如何解决。

这是一张具有低 max_iterations 并缩小的图像，您可以看到它非常丰富多彩:

这是一张 max_iterations 较低且稍微放大的图像，您可以看到它很无聊而且色彩不是很丰富:

这是一张具有高 max_iterations 并缩小的图像，您可以看到它的色彩不是很丰富:

这是一张具有高 max_iterations 并放大的图像，您可以看到它非常丰富多彩:

Answer 1

先看看这个相关的QA:

• Mandelbrot Set - Color Spectrum Suggestions?

主要思想是使用直方图更有效地将颜色梯度分布到已使用的索引，而不是在未使用的索引上均匀地浪费许多颜色。它还使用了特定的视觉上令人愉悦的渐变功能:

• RGB values of visible spectrum

其他人建议的

动态最大迭代次数只会影响缩放中的整体性能和细节。但是，如果您想要没有缩放的漂亮颜色，那么您需要计算浮点迭代计数，也称为Mandelbrot Escape。有一种数学方法可以根据方程的最后一个子结果计算迭代次数的小数部分。有关详细信息，请参阅:

• Renormalizing the Mandelbrot Escape

但是我从来没有尝试过，所以带着偏见阅读它:如果我没看错，你想要的是计算这个等式:

mu = m + frac = n + 1 - log (log  |Z(n)|) / log 2

在哪里n是你的迭代次数，Z(n)是您正在迭代的方程的复域子结果。所以现在从 mu 计算颜色现在是 float 而不是来自 n ...

[Edit2] GLSL mandelbrot 基于上述链接的分数转义

我添加了分数转义并修改了直方图多 channel 重新着色以匹配新输出...

顶点:

// Vertex
#version 420 core
layout(location=0) in vec2 pos;     // glVertex2f <-1,+1>
out smooth vec2 p;                  // texture end point <0,1>
void main()
    {
    p=pos;
    gl_Position=vec4(pos,0.0,1.0);
    }

片段:

// Fragment
#version 420 core
uniform vec2 p0=vec2(0.0,0.0);      // mouse position <-1,+1>
uniform float zoom=1.000;           // zoom [-]
uniform int  n=100;                 // iterations [-]
uniform int  sh=7;                  // fixed point accuracy [bits]
uniform int  multipass=0;           // multi pass?
in smooth vec2 p;
out vec4 col;

const int n0=1;                     // forced iterations after escape to improve precision

vec3 spectral_color(float l)        // RGB <0,1> <- lambda l <400,700> [nm]
    {
    float t;  vec3 c=vec3(0.0,0.0,0.0);
         if ((l>=400.0)&&(l<410.0)) { t=(l-400.0)/(410.0-400.0); c.r=    +(0.33*t)-(0.20*t*t); }
    else if ((l>=410.0)&&(l<475.0)) { t=(l-410.0)/(475.0-410.0); c.r=0.14         -(0.13*t*t); }
    else if ((l>=545.0)&&(l<595.0)) { t=(l-545.0)/(595.0-545.0); c.r=    +(1.98*t)-(     t*t); }
    else if ((l>=595.0)&&(l<650.0)) { t=(l-595.0)/(650.0-595.0); c.r=0.98+(0.06*t)-(0.40*t*t); }
    else if ((l>=650.0)&&(l<700.0)) { t=(l-650.0)/(700.0-650.0); c.r=0.65-(0.84*t)+(0.20*t*t); }
         if ((l>=415.0)&&(l<475.0)) { t=(l-415.0)/(475.0-415.0); c.g=             +(0.80*t*t); }
    else if ((l>=475.0)&&(l<590.0)) { t=(l-475.0)/(590.0-475.0); c.g=0.8 +(0.76*t)-(0.80*t*t); }
    else if ((l>=585.0)&&(l<639.0)) { t=(l-585.0)/(639.0-585.0); c.g=0.84-(0.84*t)           ; }
         if ((l>=400.0)&&(l<475.0)) { t=(l-400.0)/(475.0-400.0); c.b=    +(2.20*t)-(1.50*t*t); }
    else if ((l>=475.0)&&(l<560.0)) { t=(l-475.0)/(560.0-475.0); c.b=0.7 -(     t)+(0.30*t*t); }
    return c;
    }

void main()
    {
    int i,j,N;
    vec2 pp;
    float x,y,q,xx,yy,mu;
    pp=(p/zoom)-p0;         // y (-1.0, 1.0)
    pp.x-=0.5;              // x (-1.5, 0.5)
    for (x=0.0,y=0.0,xx=0.0,yy=0.0,i=0;(i<n-n0)&&(xx+yy<4.0);i++)
        {
        q=xx-yy+pp.x;
        y=(2.0*x*y)+pp.y;
        x=q;
        xx=x*x;
        yy=y*y;     
        }
    for (j=0;j<n0;j++,i++)  // 2 more iterations to diminish fraction escape error
        {
        q=xx-yy+pp.x;
        y=(2.0*x*y)+pp.y;
        x=q;
        xx=x*x;
        yy=y*y;
        }
    mu=float(i)-log(log(sqrt(xx+yy))/log(2.0));
    mu*=float(1<<sh); i=int(mu);
    N=n<<sh;
    if (i>N) i=N;
    if (i<0) i=0;

    if (multipass!=0)
        {
        // i
        float r,g,b;
        r= i     &255; r/=255.0;
        g=(i>> 8)&255; g/=255.0;
        b=(i>>16)&255; b/=255.0;
        col=vec4(r,g,b,255);
        }
    else{
        // RGB
        q=float(i)/float(N);
        q=pow(q,0.2);
        col=vec4(spectral_color(400.0+(300.0*q)),1.0);
        }
    }

CPU端C++/VCL代码:

//---------------------------------------------------------------------------
#include <vcl.h>
#pragma hdrstop
#include "Unit1.h"
#include "gl\\OpenGL3D_double.cpp"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
OpenGLscreen scr;
GLSLprogram shd;
float mx=0.0,my=0.0,mx0=0.0,my0=0.0,mx1=0.0,my1=0.0;
TShiftState sh0,sh1;
int xs=1,ys=1;
float zoom=1.000;
int sh=7;
int N=256;
int _multi=0;
unsigned int queryID[2];
#define multi_pass
OpenGLtexture txr;
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD spectral_color(float l)        // RGB <0,1> <- lambda l <400,700> [nm]
    {
    float t;  float r,g,b; DWORD c,x; r=0.0; g=0.0; b=0.0;
         if ((l>=400.0)&&(l<410.0)) { t=(l-400.0)/(410.0-400.0); r=    +(0.33*t)-(0.20*t*t); }
    else if ((l>=410.0)&&(l<475.0)) { t=(l-410.0)/(475.0-410.0); r=0.14         -(0.13*t*t); }
    else if ((l>=545.0)&&(l<595.0)) { t=(l-545.0)/(595.0-545.0); r=    +(1.98*t)-(     t*t); }
    else if ((l>=595.0)&&(l<650.0)) { t=(l-595.0)/(650.0-595.0); r=0.98+(0.06*t)-(0.40*t*t); }
    else if ((l>=650.0)&&(l<700.0)) { t=(l-650.0)/(700.0-650.0); r=0.65-(0.84*t)+(0.20*t*t); }
         if ((l>=415.0)&&(l<475.0)) { t=(l-415.0)/(475.0-415.0); g=             +(0.80*t*t); }
    else if ((l>=475.0)&&(l<590.0)) { t=(l-475.0)/(590.0-475.0); g=0.8 +(0.76*t)-(0.80*t*t); }
    else if ((l>=585.0)&&(l<639.0)) { t=(l-585.0)/(639.0-585.0); g=0.84-(0.84*t)           ; }
         if ((l>=400.0)&&(l<475.0)) { t=(l-400.0)/(475.0-400.0); b=    +(2.20*t)-(1.50*t*t); }
    else if ((l>=475.0)&&(l<560.0)) { t=(l-475.0)/(560.0-475.0); b=0.7 -(     t)+(0.30*t*t); }
    r*=255.0; g*=255.0; b*=255.0;
    x=r; c =x;
    x=g; c|=x<<8;
    x=b; c|=x<<16;
    return c;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void gl_draw()
    {
    scr.cls();

    // matrix for old GL rendering
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    glMatrixMode(GL_TEXTURE);
    glLoadIdentity();


    // GLSL uniforms
    shd.bind();
    shd.set2f("p0",mx,my);          // pan position
    shd.set1f("zoom",zoom);         // zoom
    shd.set1i("n",N);               // iterations
    shd.set1i("sh",sh);             // fixed point accuracy (shift)
    shd.set1i("multipass",_multi);  // single/multi pass

    // issue the first query
    // Records the time only after all previous
    // commands have been completed
    glQueryCounter(queryID[0], GL_TIMESTAMP);

    // QUAD covering screen
    glColor3f(1.0,1.0,1.0);
    glBegin(GL_QUADS);
    glVertex2f(-1.0,+1.0);
    glVertex2f(-1.0,-1.0);
    glVertex2f(+1.0,-1.0);
    glVertex2f(+1.0,+1.0);
    glEnd();
    shd.unbind();

    // [multipas]
    if (_multi)
        {
        float t,m,n=N<<sh;
        DWORD *hist=new DWORD[n+1];
        int sz=txr.xs*txr.ys,i,j;
        // get rendered image
        glReadPixels(0,0,txr.xs,txr.ys,GL_RGBA,GL_UNSIGNED_BYTE,txr.txr);
        // compute histogram
        for (i=0;i<=n;i++) hist[i]=0;
        for (i=0;i<sz;i++) hist[txr.txr[i]&0x00FFFFFF]++;
        // histogram -> used color index (skip holes)
        for (i=1,j=1;i<=n;i++)
         if (hist[i]){ hist[i]=j; j++; }
        // used color index -> color
        m=1.0/float(j); hist[0]=0x00000000;
        for (i=1;i<=n;i++)
         if (hist[i]){ t=hist[i]; t*=m; hist[i]=spectral_color(400.0+(300.0*t)); }
          else hist[i]=0x00000000;
        // recolor image
        for (i=0;i<sz;i++) txr.txr[i]=hist[txr.txr[i]&0x00FFFFFF];
        // render it back
        scr.cls();
        txr.bind();
        glColor3f(1.0,1.0,1.0);
        glBegin(GL_QUADS);
        glTexCoord2f(0.0,1.0); glVertex2f(-1.0,+1.0);
        glTexCoord2f(0.0,0.0); glVertex2f(-1.0,-1.0);
        glTexCoord2f(1.0,0.0); glVertex2f(+1.0,-1.0);
        glTexCoord2f(1.0,1.0); glVertex2f(+1.0,+1.0);
        glEnd();
        txr.unbind();
        glDisable(GL_TEXTURE_2D);
        delete[] hist;
        }

    // issue the second query
    // records the time when the sequence of OpenGL
    // commands has been fully executed
    glQueryCounter(queryID[1], GL_TIMESTAMP);


    // GL driver info and GLSL log
    scr.text_init_pix(0.75);
    glColor4f(1.0,1.0,1.0,0.9);
    scr.text(glGetAnsiString(GL_VENDOR));
    scr.text(glGetAnsiString(GL_RENDERER));
    scr.text("OpenGL ver: "+glGetAnsiString(GL_VERSION));
    if (_multi) scr.text("Multi pass");
     else       scr.text("Single pass");
    if (shd.log.Length()!=41)
     for (int i=1;i<=shd.log.Length();) scr.text(str_load_lin(shd.log,i,true));
    scr.text_exit();

    scr.exe();
    scr.rfs();

    // wait until the results are available
    int e;
    unsigned __int64 t0,t1;
    for (e=0;!e;) glGetQueryObjectiv(queryID[0],GL_QUERY_RESULT_AVAILABLE,&e);
    for (e=0;!e;) glGetQueryObjectiv(queryID[1],GL_QUERY_RESULT_AVAILABLE,&e);
    glGetQueryObjectui64v(queryID[0], GL_QUERY_RESULT, &t0);
    glGetQueryObjectui64v(queryID[1], GL_QUERY_RESULT, &t1);
    Form1->Caption=AnsiString().sprintf("dt: %f ms p0:%.3fx%.3f zoom: %.1lf N:%i<<%i\n",(t1-t0)/1000000.0,mx,my,zoom,N,sh);
    }
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner):TForm(Owner)
    {
    scr.init(this);
    shd.set_source_file("","","","Mandelbrot_set.glsl_vert","Mandelbrot_set.glsl_frag");
    glGenQueries(2, queryID);
    // nice spirals
    _multi=1;
    zoom=300.0;
    mx  = 0.268;
    my  =-0.102;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormDestroy(TObject *Sender)
    {
    scr.exit();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormResize(TObject *Sender)
    {
    scr.resize();
    xs=ClientWidth;
    ys=ClientHeight;
    txr.resize(xs,ys);
    gl_draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormPaint(TObject *Sender)
    {
    gl_draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormMouseMove(TObject *Sender, TShiftState Shift, int X,int Y)
    {
    bool q0,q1;
    mx1=1.0-divide(X+X,xs-1);
    my1=divide(Y+Y,ys-1)-1.0;
    sh1=Shift;
    q0=sh0.Contains(ssLeft);
    q1=sh1.Contains(ssLeft);
    if (q1)
        {
        mx-=(mx1-mx0)/zoom;
        my-=(my1-my0)/zoom;
        }
    mx0=mx1; my0=my1; sh0=sh1;
    gl_draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormMouseDown(TObject *Sender, TMouseButton Button,TShiftState Shift, int X, int Y)
    {
    FormMouseMove(Sender,Shift,X,Y);
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormMouseUp(TObject *Sender, TMouseButton Button,TShiftState Shift, int X, int Y)
    {
    FormMouseMove(Sender,Shift,X,Y);
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormMouseWheel(TObject *Sender, TShiftState Shift, int WheelDelta, TPoint &MousePos, bool &Handled)
    {
    if (WheelDelta>0) zoom*=1.2;
    if (WheelDelta<0) zoom/=1.2;
    Handled=true;
    gl_draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormKeyDown(TObject *Sender, WORD &Key, TShiftState Shift)
    {
    Caption=Key;
    if (Key==32){ _multi=!_multi; gl_draw(); }      // [Space]
    if (Key==33){ if (N<8192) N<<=1; gl_draw(); }   // [PgUp]
    if (Key==34){ if (N> 128) N>>=1; gl_draw(); }   // [PgDown]
    }
//---------------------------------------------------------------------------

这是单程分数逃逸 n=100*32 :

这是单次整数转义 n=100 :

如您所见，对于相同的迭代次数 (100)，分数转义要好得多。

最后漂亮的多 channel (作为炫耀)只有 256 次迭代和 ~300 倍缩放:

与单次通过:

修改的一些解释:

我添加了 sh小数位部分到计数器(定点)。所以最大计数现在是 n<<sh而不仅仅是 n .我还添加了 n0降低转义小数部分误差的常数。该链接建议使用 2 次迭代，但我认为 1 次看起来更好(它还从对数方程中删除了 i+1 增量)。迭代循环没有改变我只是添加相同的n0之后的迭代，然后计算分数转义 mu并将其转换为定点(因为我的着色器输出整数)。

Multi pass 仅在 CPU 端代码上更改。它只是重新索引使用过的索引，因此它们中没有孔，并使用可见光谱颜色重新着色。

这里演示:

• Win32 C++/GL/GLSL Mandelbrot set demo 32 bit float (old)
• Win32 C++/GL/GLSL Mandelbrot set demo 64 bit float (new)