c++ - 使用 GNU 科学库 (GSL) 使用不均匀分布的点绘制 2D B 样条路径

Question

我正在尝试使用 GNU 科学库 (GSL) 绘制从 A 到 B 的平滑路径。我使用的 API 返回少量(在本例中为 8 个)不规则间隔的点(红色) )，您可以在下图中看到:

紫色点代表我希望看到从 GSL 返回的点。

首先，这种2D B-Spline形状可以用GSL得到吗？我不太了解 B 样条曲线，更不用说 2D B 样条曲线了。我能够获得显示的 B 样条曲线示例 here运行并创建一个流畅的 .ps 文件没有问题，但该示例使用带有以下代码的统一断点:

/* use uniform breakpoints on [0, 15] */
gsl_bspline_knots_uniform(0.0, 15.0, bw);

在我的例子中，鉴于我提供的数据不稳定且间隔不均匀，我是否必须使用非均匀结？我尝试使用 gsl_bspline_knots()，以便在以下测试代码中使用非统一断点，但我真的不确定这是否是正确的方向。

#define NCOEFFS 8 // not sure what this number should be - number of data points?
#define NBREAK   (NCOEFFS - 2)
const size_t nbreak = NBREAK;

int main (void) {

    // (example code)...

    gsl_vector *non_uniform = gsl_vector_alloc(nbreak);

    // create some random breakpoint values
    for (i=0; i<nbreak; i++) {
        double val = gsl_ran_gaussian(r, 2.0);
        printf("val: %f\n", val);
        gsl_vector_set(non_uniform, i, val);
    }

    gsl_bspline_knots(non_uniform, bw);

    // (more example code)...
}

此外，我将如何翻译上面在 2D x/y 坐标空间中绘制 B 样条曲线的示例？如果 GNU 科学库不适合这个，有人可以推荐更合适的 C/C++ 库吗？

任何方向上的帮助或指示将不胜感激。

Answer 1

首先:一维基样条

给定一组 NBREAK断点 (t_1, ..., t_{NBREAK}) , 有 NCOEFFS=NBREAK+2三次 b 样条组件 B_j(t) .这些函数及其一阶和二阶导数始终是连续的，即使在断点处也是如此。因此，线性组合 f(t) = \sum m_j B_j(t) 给出的任何拟合也将共享这些属性(类似于自然三次样条)。 b样条分量的数量，NCOEFFS ，不需要等于数据点的数量，NDATA .如果NCOEFFS < NDATA ，您应该使用最小二乘最小化来获得拟合(GSL 文档有一个很好的最小二乘计算示例来获得 b 样条拟合 here )。 NCOEFFS < NDATA当数据包含噪声时是不错的选择，而您的情况似乎并非如此

系数个数不等于断点个数的原因，NCOEFFS=NBREAK+2 , 与处理基样条时没有指定边界条件有关。鉴于人们通常更熟悉自然三次样条，因此值得评论的是 natural cubic splines施加边界条件 d^2f(x)/dx^2=0 .这就是为什么使用三次多项式基础的自然三次样条的任何表示都会有 NCOEFFS=NBREAK . Here is a link很好地解释了由三次多项式的系数给出的自由度的计数，这些系数表示自然 b 样条和施加连续性所需的方程数 f(t) , df(t)/dt和 d^2f(t)/dt^2 ).

最后:使用 b 样条拟合参数曲线。

你有一组“数据”点(x_1, y_1)....(x_{NDATA},y_{NDATA})并且您想构建参数拟合 P(t)=( f_1(t), f_2(t) ) .如果 NCOEFFS<NDATA，则 B 样条拟合不会遍历所有数据点。 (如果您仔细选择断点和 NCOEFFS=N_DATA ，您可以要求这样做)。在我的研究中，我只使用一维非参数拟合 (y=f(x))，但我相信这个参数案例是相似的。我会尝试以下操作

第 1 步:创建“数据”点集 (t, x) = {(1, x_1), (2, x_2)...(NDATA, x_{NDATA})}并使用 gsl 1D b 样条曲线来拟合它们。这种合身会给你f_1(t) = sum_{i=1}^{NCOEFFS} mx_j B_j(t)与 t \in [1,NDATA] .

第 2 步:现在构建“数据”点集 (t, y) = {(1, y_1), (2, y_2)...(NDATA, y_{NDATA})}并使用 b 样条曲线来拟合它们。这将为您提供f_2(t) = sum_{i=1}^{NCOEFFS} my_j B_j(t)与 t \in [1,NDATA]

现在绘制P(t)=( f_1(t), f_2(t) ), t \in [1,NDATA] .基本上，我在 2 个一维非参数拟合(这是 GSL 提供的)中映射了一个二维参数曲线问题。

最后一点是第一步和第二步的断点选择(以及基元数量 NCOEFFS )，只要覆盖范围 t\in[1, NDATA] 即可。和 NCOEFFS <= NDATA ，断点的选择是任意的。我相信，如果您选择断点为 {1, 3, ..., NDATA-2, NDATA }拟合将通过数据点(注意我跳过了内部点 t=2 和 t=NDATA-1 这样 NBREAK=NDATA-2 和 NCOEFFS=NDATA )。就是这样NAG库选择断点以获得插值拟合(意思是:通过数据点的拟合)。