java - QuickHull 算法的复杂性？

Question

我知道复杂度是 O(nlog(n))。但为什么？你是怎么得出这个答案的？

任何帮助将不胜感激，我很想知道!

Answer 1

它的平均情况复杂度被认为是 O(n log(n))，而在最坏的情况下它需要 O(n^2)(二次) .

考虑以下伪代码:

QuickHull (S, l, r)

     if S={ }    then return ()
else if S={l, r} then return (l, r)  // a single convex hull edge
else
    z = index of a point that is furthest (max distance) from xy.
    Let A be the set containing points strictly right of (x, z)
    Let B be the set containing points strictly right of (z, y)
    return {QuickHull (A, x, z) U (z) U QuickHull (B, z, y)}

分区由通过两个不同极值点的线确定:最右边的最低点 r 和最左边的最高点 l。找到极值需要 O(n) 时间。

对于递归函数，需要n步来确定极值点z，但递归调用的成本取决于集合A 并设置 B。

最佳情况。考虑最佳情况，即每个分区几乎平衡。那么我们有

T(n) = 2 T(n/2) + O(n)。

这是一个熟悉的递归关系，其解是

T(n) = O(n log(n))。

这会发生在随机分布的点上。

最坏的情况。当每个分区都极度不平衡时，最坏的情况就会发生。在这种情况下，递归关系是

T(n) = T(n-1) + O(n) 
     = T(n-1) + cn

重复展开显示这是O(n^2)。因此，在最坏的情况下，QuickHull 是二次的。

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http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Compgeometry/MyCG/ConvexHull/quickHull.htm