c++ - 在 C++ 中实现 >2 维的多元高斯概率密度函数

Question

我正致力于在 C++ 中实现多元高斯的概率密度函数，我一直在研究如何最好地处理维度 > 2 的情况。

高斯的pdf可以写成

其中 (A)' 或 A' 表示通过从 x 的所有元素中减去平均值创建的“矩阵”的转置。在这个等式中，k 是我们拥有的维数，sigma 表示协方差矩阵，它是一个 k x k 矩阵。最后，|X|表示矩阵X的行列式。

在单变量情况下，实现 pdf 很简单。即使在双变量 (k = 2) 的情况下，它也是微不足道的。然而，当我们超越二维时，实现起来就困难得多。

在双变量情况下，我们有

其中 rho 是 x 和 y 之间的相关性，相关性等于

在这种情况下，我可以使用 Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>实现第一个方程，或者只使用第二个方程自己计算所有内容，而无需受益于 Eigen 的简化线性代数接口(interface)。

我对多变量情况的尝试可能会从将上述方程扩展到多变量情况开始

与

我的问题是:

1. 是否适合/建议使用 boost::multi_array为了n 维数组，还是我应该尝试利用 Eigen？
2. 我是否应该为单变量/双变量情况设置单独的函数，或者我应该把它全部抽象到多元案例中使用boost::multi_array(或适当的替代方案)？

Answer 1

我在这里有点不适应，但有一些想法:

首先，从编程的角度来看，标准答案是“配置文件”。也就是说，首先以更清晰的方式对其进行编码。然后分析您的执行情况，看看优化是否值得。恕我直言，使用矩阵库来更接近原始数学可能更清楚。

从数学角度来看:我对您为多变量情况提供的公式有点怀疑。我觉得不对劲。表达式 Z 应该是二次型，而你的 Z 不是。除非我遗漏了什么。

这是一个您没有提到但可能有意义的选项。特别是如果您要针对单个发行版多次评估 PDF。从计算分布的主成分基础开始。即，Σ 的特征基础。主成分方向是正交的。在主成分基础上，互协方差都为0，因此PDF具有简单的形式。当你想评估时，将输入的基础更改为主成分基础，然后在其上执行更简单的 PDF 计算。

想法是您可以预先计算一次基矩阵和主成分的变化，然后每次评估只需进行一次矩阵乘法(基的变化)，而不是评估所需的两次矩阵乘法(x-μ)' Σ (x-μ) 在标准基础上。