c++ - Newton Raphson 混合算法未达到解决方案

Question

问题的简要说明:我使用 Newton Raphson 算法在多项式中求根，但在某些情况下不起作用。为什么？

我从“c++ 中的数值食谱”中获取了一种 Newton Raphson 混合算法，该算法会在 New-Raph 未正确收敛(导数值较低或收敛速度不快)的情况下平分。

我用几个多项式检查了算法并且它有效。现在我正在我拥有的软件内部进行测试，但我总是遇到特定多项式的错误。我的问题是，我不知道为什么这个多项式不能得到结果，而其他许多人却可以。因为我想改进任何多项式的算法，所以我需要知道哪个是不收敛的原因，这样我才能正确对待它。

下面我将发布我可以提供的有关算法和我有错误的多项式的所有信息。

多项式:

f(t)= t^4 + 0,557257315256597*t^3 - 3,68254086033178*t^2 +
+ 0,139389107255627*t + 1,75823776590795

它是一阶导数:

 f'(t)= 4*t^3 + 1.671771945769790*t^2 - 7.365081720663563*t + 0.139389107255627

情节:

根(通过 Matlab):

  -2.133112008595826          1.371976341295347          0.883715461977390 
  -0.679837109933505

算法:

double rtsafe(double* coeffs, int degree, double x1, double x2,double xacc,double xacc2)
    {
    int j;
    double df,dx,dxold,f,fh,fl;
    double temp,xh,xl,rts;
    double* dcoeffs=dvector(0,degree);
    for(int i=0;i<=degree;i++)
        dcoeffs[i]=0.0;
    PolyDeriv(coeffs,dcoeffs,degree);
    evalPoly(x1,coeffs,degree,&fl);
    evalPoly(x2,coeffs,degree,&fh);
    evalPoly(x2,dcoeffs,degree-1,&df);
if ((fl > 0.0 && fh > 0.0) || (fl < 0.0 && fh < 0.0))
    nrerror("Root must be bracketed in rtsafe");

if (fl == 0.0) return x1;
if (fh == 0.0) return x2;

if (fl < 0.0) { // Orient the search so that f(xl) < 0.
    xl=x1;
    xh=x2;
} else {
    xh=x1;
    xl=x2;
}
rts=0.5*(x1+x2);    //Initialize the guess for root,
dxold=fabs(x2-x1);  //the "stepsize before last,"
dx=dxold;           //and the last step

evalPoly(rts,coeffs,degree,&f);
evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&dx);

for (j=1;j<=MAXIT;j++) { //Loop over allowed iterations

    if ((((rts-xh)*df-f)*((rts-xl)*df-f) > 0.0) //Bisect if Newton out of range,
            || (fabs(2.0*f) > fabs(dxold*df))) { //or not decreasing fast enough.
        dxold=dx;
        dx=0.5*(xh-xl);
        rts=xl+dx;
        if (xl == rts) 
            return rts; //Change in root is negligible.
    } else {// Newton step acceptable. Take it.
        dxold=dx;
        dx=f/df;
        temp=rts;
        rts -= dx;
        if (temp == rts)
            return rts;
    }
    if (fabs(dx) < xacc) 
        return rts;// Convergence criterion
    evalPoly(rts,coeffs,degree,&f);
    evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&dx);
    //The one new function evaluation per iteration.
    if (f < 0.0) //Maintain the bracket on the root.
        xl=rts;
    else
        xh=rts;

}
//As the Accuracy asked to the algorithm is really high (but usually easily reached)
//the results precission is checked again, but with a less exigent result
dx=f/df;
if(fabs(dx)<xacc2)
    return rts;
nrerror("Maximum number of iterations exceeded in rtsafe");
return 0.0;// Never get here.
}

使用下一个变量调用算法:

x1=0.019
x2=1.05
xacc=1e-10
xacc2=0.1
degree=4
MAXIT=1000
coeffs[0]=1.75823776590795;
coeffs[1]=0.139389107255627;
coeffs[2]=-3.68254086033178;
coeffs[3]=0.557257315256597;
coeffs[4]=1.0;

问题是该算法超过了最大迭代次数，并且有一个 arror 到 aproximatedly 0.15 的根。

所以我的直接和简化的问题是:为什么这个多项式没有达到准确的误差，而许多(至少 1000 个)其他非常相似的多项式却达到了(只有 1e-10 的精度和很少的迭代!)

我知道这个问题很难，可能没有真正直接的答案，但我被这个问题困扰了好几天，我不知道如何解决。非常感谢您花时间阅读我的问题。

Answer 1

我不确定确切原因，但检查函数是否下降得足够快在这种情况下似乎不起作用。

如果我这样做，它会起作用:

  double old_f = f;

  .
  .
  .

    if ((((rts-xh)*df-f)*((rts-xl)*df-f) > 0.0) //Bisect if Newton out of range,
        || (fabs(2.0*f) > old_f)) { //or not decreasing fast enough.
  .
  .
  .

    if (fabs(dx) < xacc)
      return rts;// Convergence criterion
    old_f = f;

更新

看起来你的代码有问题:

evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&dx);

应该是

evalPoly(rts,dcoeffs,degree-1,&df);