c++ - 查找魔数(Magic Number) C++

Question

魔数(Magic Number)

一个正整数是“神奇的”，当且仅当，如果它是偶数，它可以通过重复除以 2 或乘以 3 然后加 1 来减少到 1，如果它是奇数。因此，例如，3 是神奇的，因为 3 首先减少到 10 (3*3+1)，然后减少到 5 (10/2)，然后减少到 16 (5*3+1)，然后减少到 8 (16/2) ，然后是 4 (8/2)，然后是 2 (4/2)，最后是 1 (2/2)。魔数(Magic Number)假说指出所有正整数都是魔数(Magic Number)，或者，正式地说:∀x ∈ Z, MAGIC(x) 其中 MAGIC(x) 是谓词“x is magic”。

我们应该开发一个 C++ 程序来找到从 1 到 50 亿的“魔数(Magic Number)”。如果正确完成，应该需要 80 秒或更短的时间。我的大约需要 2 小时，而我们得到的示例程序需要 14 天。这是我的代码，我该怎么做才能加快速度？我是否遗漏了明显的优化问题？

#include <iostream>
using namespace std;

bool checkMagic(unsigned long number);

int main()
{
  for(unsigned long i = 1; i <= 5000000000; i++)
  {
    if(i % 1000000 == 0)
    {
      //only print out every 1000000 numbers to keep track, but slow it down 
      //by printing out every single number
      cout<<i<<endl;
    }

    if(!checkMagic(i))
    {
      //not magic
      cout<<i<<" not a magic number"<<endl;
      break;
    }
  }
}

bool checkMagic(unsigned long number)
{
  if(number % 2 == 0)
  {
    number = number / 2;
  }
  else
  {
    number = (number * 3) + 1;
  }

  if(number !=  1)
  {
    checkMagic(number);
  }

  return 1;
}

Answer 1

这个问题基本上要求验证Collatz Conjecture高达 5B。

我认为这里的关键是，对于我们正在检查的每个 n 数字，查看乐观情景和悲观情景，并在恢复到悲观情景之前检查乐观情景。

在乐观的情况下，当我们根据 n/2 修改 n 时； 3n + 1 规则，数字序列将:

• 在有限的步骤中变得小于 n(在这种情况下，我们可以检查我们对那个较小数字的了解)。

• 不会造成步骤溢出。

(正如 TonyK 正确指出的那样，我们不能依赖它(即使不是第一个))。

因此，对于乐观的场景，我们可以使用如下函数:

#include <unordered_set>
#include <set>
#include <iostream>
#include <memory>
#include <list>
#include <gmp.h>

using namespace std;

using found_set = unordered_set<size_t>;

bool fast_verify(size_t i, size_t max_tries, const found_set &found) {
    size_t tries = 0;
    size_t n = i;
    while(n != 1) {
        if(++tries == max_tries ) 
            return false;

        if(n < i)
            return found.empty() || found.find(i) == found.end();
        if(n % 2 == 0)
            n /= 2;
        else if(__builtin_mul_overflow (n, 3, &n) || __builtin_add_overflow(n, 1, &n))
            return false;
    }   

    return true;
}

注意以下几点:

1. 该函数仅尝试验证它收到的数字的猜想。如果它返回 true ，已经验证过了。如果它返回 false ，它只是意味着它还没有被验证(即，它并不意味着它已经被反驳)。

2. 它需要一个参数 max_tries , 并且只验证最多这个数量的步骤。如果超出了数量，它不会尝试辨别这是否是无限循环的一部分 - 它只是返回验证失败。

3. 它需要一个 unordered_set失败的已知数字的集合(当然，如果 Collat​​z 猜想为真，则此集合将始终为空)。

4. 它通过 __builtin_*_overflow 检测溢出. (不幸的是，这是特定于 gcc 的。不同的平台可能需要一组不同的此类函数。)

现在是缓慢但可靠的功能。此函数使用 GNU MP multi-precision arithmetic library .它通过维护已经遇到的数字序列来检查无限循环。此函数返回 true如果这个数字的猜想得到证明，并且false如果这个数字已经被驳回(注意与之前快速验证的区别)。

bool slow_check(size_t i) {
    mpz_t n_; 
    mpz_init(n_);

    mpz_t rem_;
    mpz_init(rem_);

    mpz_t i_; 
    mpz_init(i_);

    mpz_set_ui(i_, i); 
    mpz_set_ui(n_, i); 

    list<mpz_t> seen;

    while(mpz_cmp_ui(n_, 1) != 0) {
        if(mpz_cmp_ui(n_, i) < 0)
            return true;
        mpz_mod_ui(rem_, n_, 2); 
        if(mpz_cmp_ui(rem_, 0) == 0) {
            mpz_div_ui(n_, n_, 2); 
        }   
        else {
            mpz_mul_ui(n_, n_, 3); 
            mpz_add_ui(n_, n_, 1); 
       }   
       seen.emplace_back(n_);
       for(const auto &e0: seen)
           for(const auto &e1: seen)
               if(&e0 != &e1 && mpz_cmp(e0, e1) == 0)
                   return false;
   }   

   return true;
}

最后，main维护一个 unordered_set被证伪的数字。对于每个数字，它乐观地尝试验证猜想，然后，如果它失败(溢出或超过迭代次数)，使用慢速方法:

int main()
{
    const auto max_num = 5000000000;
    found_set found;

    for(size_t i = 1; i <= max_num; i++) {
        if(i % 1000000000 == 0)
            cout << "iteration " << i << endl;

        auto const f = fast_verify(i, max_num, found);
        if(!f && !slow_check(i))
            found.insert(i);
    }

    for(auto e: found)
        cout << e << endl;
}

---

运行完整代码(如下)给出:

$ g++ -O3 --std=c++11 magic2.cpp -lgmp && time ./a.out
iteration 1000000000
iteration 2000000000
iteration 3000000000
iteration 4000000000
iteration 5000000000

real    1m3.933s
user    1m3.924s
sys 0m0.000s

$ uname -a
Linux atavory 4.4.0-38-generic #57-Ubuntu SMP Tue Sep 6 15:42:33 UTC 2016 x86_64 x86_64 x86_64 GNU/Linux
$ sudo lshw | grep -i cpu
      *-cpu
           description: CPU
           product: Intel(R) Core(TM) i7-4720HQ CPU @ 2.60GHz
           bus info: cpu@0
           version: Intel(R) Core(TM) i7-4720HQ CPU @ 2.60GHz
           capabilities: x86-64 fpu fpu_exception wp vme de pse tsc msr pae mce cx8 apic sep mtrr pge mca cmov pat pse36 clflush dts acpi mmx fxsr sse sse2 ss ht tm pbe syscall nx pdpe1gb rdtscp constant_tsc arch_perfmon pebs bts rep_good nopl xtopology nonstop_tsc aperfmperf eagerfpu pni pclmulqdq dtes64 monitor ds_cpl vmx est tm2 ssse3 sdbg fma cx16 xtpr pdcm pcid sse4_1 sse4_2 x2apic movbe popcnt tsc_deadline_timer aes xsave avx f16c rdrand lahf_lm abm epb tpr_shadow vnmi flexpriority ept vpid fsgsbase tsc_adjust bmi1 avx2 smep bmi2 erms invpcid xsaveopt dtherm ida arat pln pts cpufreq

也就是说，没有发现反证数字，运行时间约为 64 秒。

---

完整代码:

#include <unordered_set>
#include <set>
#include <iostream>
#include <memory>
#include <list>
#include <gmp.h>

using namespace std;

using found_set = unordered_set<size_t>;

bool fast_verify(size_t i, size_t max_tries, const found_set &found) {
    size_t tries = 0;
    size_t n = i;
    while(n != 1) {
        if(++tries == max_tries )
            return false;

        if(n < i)
            return found.empty() || found.find(i) == found.end();
        if(n % 2 == 0)
            n /= 2;
        else if(__builtin_mul_overflow (n, 3, &n) || __builtin_add_overflow(n, 1, &n))
            return false;
    }   

    return true;
}

bool slow_check(size_t i) {
    mpz_t n_; 
    mpz_init(n_);

    mpz_t rem_;
    mpz_init(rem_);

    mpz_t i_; 
    mpz_init(i_);

    mpz_set_ui(i_, i); 
    mpz_set_ui(n_, i); 

    list<mpz_t> seen;

    while(mpz_cmp_ui(n_, 1) != 0) {
        if(mpz_cmp_ui(n_, i) < 0)
            return true;
        mpz_mod_ui(rem_, n_, 2); 
        if(mpz_cmp_ui(rem_, 0) == 0) {
            mpz_div_ui(n_, n_, 2); 
        }   
        else {
            mpz_mul_ui(n_, n_, 3); 
            mpz_add_ui(n_, n_, 1); 
       }   
       seen.emplace_back(n_);
       for(const auto &e0: seen)
           for(const auto &e1: seen)
               if(&e0 != &e1 && mpz_cmp(e0, e1) == 0)
                   return false;
   }   

   return true;
}


int main()
{
    const auto max_num = 5000000000;
    found_set found;

    for(size_t i = 1; i <= max_num; i++) {
        if(i % 1000000000 == 0)
            cout << "iteration " << i << endl;

        auto const f = fast_verify(i, max_num, found);
        if(!f && !slow_check(i))
            found.insert(i);
    }

    for(auto e: found)
        cout << e << endl;

    return 0;
}