c++ - pow(a/b,x) 与 pow(b/a,-x) 的数值精度

Question

pow(a/b,x) 和 pow(b/a,-x) 在精度上有区别吗？如果存在，将小于 1 的数字提升为正幂或将大于 1 的数字提升为负幂会产生更准确的结果吗？

编辑:让我们假设 x86_64 处理器和 gcc 编译器。

编辑:我尝试使用一些随机数进行比较。例如:

printf("%.20f",pow(8.72138221/1.761329479,-1.51231)) // 0.08898783049228660424
printf("%.20f",pow(1.761329479/8.72138221, 1.51231)) // 0.08898783049228659037

因此，看起来存在差异(尽管在这种情况下微不足道)，但也许了解算法实现的人可以评论最大差异是什么，以及在什么条件下。

Answer 1

这是回答此类问题的一种方法，以了解 float 的行为方式。这不是分析此类问题的 100% 正确方法，但它提供了一个总体思路。

让我们生成随机数。以浮点精度计算 v0=pow(a/b, n) 和 v1=pow(b/a, -n)。并以 double 计算 ref=pow(a/b, n)，并将其四舍五入为 float 。我们使用 ref 作为引用值(我们假设 double 的精度比 float 高得多，所以我们可以相信 ref 可以被认为是最佳可能值。这是真的大部分时间用于 IEEE-754)。然后求和 v0-ref 和 v1-ref 之间的差异。差值应该用“v和ref之间的 float 个数”来计算。

请注意，结果可能取决于 a、b 和 n 的范围(以及随机生成器的质量。如果这真的很糟糕，它可能会给出有偏见的结果)。在这里，我使用了 a=[0..1]、b=[0..1] 和 n=[-2..2] 。此外，这个答案假设float/double division/pow的算法是同类的，具有相同的特性。

对于我的电脑，求和的差异是:2604828 2603684，这意味着两者之间没有显着的精度差异。

这是代码(注意，这段代码假定 IEEE-754 算法):

#include <cmath>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

long long int diff(float a, float b) {
    unsigned int ai, bi;
    memcpy(&ai, &a, 4);
    memcpy(&bi, &b, 4);
    long long int diff = (long long int)ai - bi;
    if (diff<0) diff = -diff;
    return diff;
}

int main() {
    long long int e0 = 0;
    long long int e1 = 0;
    for (int i=0; i<10000000; i++) {
        float a = 1.0f*rand()/RAND_MAX;
        float b = 1.0f*rand()/RAND_MAX;
        float n = 4.0f*rand()/RAND_MAX - 2.0f;

        if (a==0||b==0) continue;

        float v0 = std::pow(a/b, n);
        float v1 = std::pow(b/a, -n);
        float ref = std::pow((double)a/b, n);

        e0 += diff(ref, v0);
        e1 += diff(ref, v1);
    }

    printf("%lld %lld\n", e0, e1);
}