c++ - 平方差的数值精度

Question

在我的代码中，我经常计算类似下面的部分(为简单起见，此处为 C 代码):

float cos_theta = /* some simple operations; no cosf call! */;
float sin_theta = sqrtf(1.0f - cos_theta * cos_theta); // Option 1

对于此示例，请忽略平方根的自变量由于不精确而可能为负数。我通过额外的 fdimf 调用修复了这个问题。但是，我想知道以下是否更准确:

float sin_theta = sqrtf((1.0f + cos_theta) * (1.0f - cos_theta)); // Option 2

cos_theta 介于 -1 和 +1 之间，因此对于每个选择，在某些情况下我会减去相似的数字，从而降低精度， 正确的？ 什么是最精确的，为什么？

Answer 1

使用 float 最精确的方法可能是使用单个 x87 指令计算 sin 和 cos， fsincos 。

但是，如果您需要手动进行计算，最好将具有相似量级的参数分组。这意味着第二个选项更精确，尤其是当 cos_theta 接近 0 时，精度最重要。

作为文章 What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic备注:

The expression x² - y² is another formula that exhibits catastrophic cancellation. It is more accurate to evaluate it as (x - y)(x + y).

编辑:它比这更复杂。虽然上述内容通常是正确的，但当 x 和 y 的大小非常不同时，(x - y)(x + y) 稍微不太准确，正如声明的脚注所解释的:

In this case, (x - y)(x + y) has three rounding errors, but x² - y² has only two since the rounding error committed when computing the smaller of x² and y² does not affect the final subtraction.

换句话说，取 x - y、x + y 和乘积 (x - y)(x + y) 都会引入舍入误差(3 步舍入误差)。 x²、y² 和减法 x² - y² 也都引入了舍入误差，但是通过对相对较小的数(x 和 y 中的较小者)进行平方得到的舍入误差可以忽略不计，实际上只有两步舍入误差，使平方差更加精确。

所以选项 1 实际上会更精确。 dev.brutus 的 Java 测试证实了这一点。