c++ - a/b == ka/kb 上没有浮点错误吗？

Question

这是我的简单代码。

int num1, num2;
cin >> num1 >> num2;

int num3, num4;
cin >> num3 >> num4;

double result1 = static_cast<double>(num1) / num2;
double result2 = static_cast<double>(num3) / num4;

cout.setf(ios::boolalpha);
cout << (result1 == result2) << endl;

输入:

1 3
2 6

输出:

true

所以我想知道

static_cast<double>(a) / b == static_cast<double>(k * a) / (k * b)

总是正确的？

如果没有，

int num1, num2;
cin >> num1 >> num2;

int num3, num4;
cin >> num3 >> num4;

int gcd1 = gcd(num1, num2);
int gcd2 = gcd(num3, num4);

double result1 = static_cast<double>(num1 / gcd1) / (num2 / gcd1);
double result2 = static_cast<double>(num3 / gcd2) / (num4 / gcd2);

cout.setf(ios::boolalpha);
cout << (result1 == result2) << endl;

总是在输入 a、b、k * a、k * 时打印 true b 到 num1, num2, num3, num4?

Answer 1

假设 IEEE-754 二进制浮点运算与舍入到最近的偶数规则一起使用，除以下情况外，比较都是正确的。

给定int num1 , num2 , num3 , 和 num4其中 num3 = k • num1和 num4 = k • num2对于一些实数k，有以下情况static_cast<double>(num1) / num2 == static_cast<double>(num3) / num4可能评估为假:

• num3和 num4都是零，要么是因为 num1和 num2为零或因为 k 为零。那么static_cast<double>(num3) / num4计算结果为 NaN，而 NaN 永远不会与任何事物进行比较，甚至不会与相同的 NaN 进行比较。
• num2为零但 num1不是，k 是负数。那么static_cast<double>(num1) / num2根据 num1 是否计算为 +∞ 或 −∞是正数还是负数，而static_cast<double>(num3) / num4分别计算为相反的 −∞ 或 +∞，因此比较计算为假。
• 何时int , 不包括符号位，比 double 的有效数字宽, 由于转换为 double 时的舍入不同，商可能会有所不同.例如，int可能是 64 位，而 double有一个 53 位有效数字。假设 num1是 2⁵³+1, num2是 1，k 是 3，所以 num3是 2⁵⁴+2⁵³+2+1 和 num4是 3。然后，由于四舍五入，static_cast<double>(num1)产生 2⁵³，static_cast<double>(num3)产生 2⁵⁴+2⁵³+4，除法产生 2⁵³ 和 2⁵³+2，这不相等。
• 如果k • num1或k • num2溢出 int类型，比较结果可能为假。

除上述情况外，转换为 double是精确的，并且商是数学定义的(没有零除数)并且相等。在这些情况下，舍入规则要求两个除法产生相同的结果，因此比较结果为真。