c++ - 使用Direct2D绘制样条线

Question

我有样条曲线的数据

度

结

控制点

合适的点
我需要使用 Direct2D绘制此曲线。目前，我正在使用 ID2D1GeometrySink interface绘制几何图形，但似乎它没有实现可能的 AddSpline方法。

有没有办法通过 Direct2D绘制样条曲线？甚至可以在o​​jit_code应用程序中使用的 DirectX实现也可以。

Answer 1

除非您已经具有基本的NURBS操作代码，或者您是NURBS专家，否则我建议您使用一些NURBS库。通常，与您的问题相关的一组操作是:点评估，结点插入，劈裂以及度提升。

为了概括起见，我将描述三种可能的解决方案。

按节拆分

假设您输入的NURBS曲线是非理性的(无权重=单位权重)，并且其度数不能超过生成的贝塞尔曲线的最大允许度数。然后，样条曲线的每个跨度都是一条多项式曲线，因此可以将其提取为贝塞尔曲线。

根据您使用的库，算法的描述可能会有所不同。以下是可能的变体:

如果有一个将NURBS曲线拆分为Bezier曲线的函数，只需调用它即可。

假设有一个函数，可以在给定参数下将曲线分为两个子曲线。然后将曲线拆分为任何内部结(即不等于最小/最大结)。对每个子曲线执行相同的操作，直到没有内部结，这意味着所有曲线均为贝塞尔曲线。

任何NURBS库都必须具有结插入功能。对于多重度小于D(度)的每个结Ki，将param = Ki称为结插入。您可以按任何顺序插入不同的结。该库还可以包含“多个结插入”，它允许将所有插入组合到一个调用中。最后，最小/最大结点必须具有多重性D + 1，所有内部结点都必须具有多重性D。这时，控制点完全描述了您所需的贝塞尔曲线:控制点[0..D]定义0- th Bezier，[D..2D]定义第1个Bezier，...，[q D ..(q + 1)D]控制点定义第q个Bezier。

如果输入的NURBS曲线的度数低于所需的Bezier曲线度数，则也可以为原始NURBS曲线或生成的Bezier曲线度数。说到ID2D1GeometrySink，它接受度数<= 3的所有Bezier曲线(线性Bezier曲线只是一个线段)，因此没有必要。

如果您的NURBS曲线可能具有 Not Acceptable 高阶或合理，则必须使用三次样条曲线(更硬和更快)或折线(更简单但更慢)来近似曲线。

保证折线近似

这是一个相当简单的递归算法，可建立NURBS曲线的折线近似值，并保证误差<= MaxErr。

从曲线的第一个控制点到最后一个控制点绘制一条线段。

检查所有控制点是否都在距线段的MaxErr距离之内。

如果是，则将线段添加到输出中。

否则，将中间的曲线分成两个子曲线，然后递归地对其进行近似。

要实现它，您需要NURBS曲线分割操作(可以通过结插入实现)。

启发式折线近似

如果手头没有NURBS库，则执行结点插入可能会引起很多痛苦。因此，我描述了另一种仅使用NURBS曲线的点评估的解决方案。您可以通过de Boor算法或通过定义来实现点评估(请参见 basis functions和 NURBS curve定义)

该算法是递归的，它接受原始曲线上的参数间隔作为输入。

评估参数间隔的起点和终点。

通过它们绘制一条线段。

评估参数区间内曲线上的一些点。

检查这些内部点是否在线段的MaxErr距离内。

如果是，则将线段添加到输出中。

否则，将参数间隔分成两半，然后递归调用它们的近似值。

该算法是自适应的，在极少数情况下，在实践中可能会产生不好的近似。可以在参数间隔内统一选择检查点。为了获得更高的可靠性，最好还对输入曲线的所有结中的参数范围内的曲线进行评估。

第三方图书馆

如果您不打算大量使用NURBS，建议您使用 tinyspline库。它在设计上非常小，没有依赖性，并且具有MIT许可证。另外，它似乎正在积极开发中，因此在出现任何问题时都可以与作者进行交流。

对于主题入门者来说，第一个解决方案似乎就足够了，因此下面是使用tinyspline将NURBS拆分为Bezier曲线的代码:

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>
#include "tinysplinecpp.h"
#include "debugging.h"

int main() {
    //create B-spline curve and set its data
    TsBSpline nurbs(3, 2, 10, TS_NONE);
    float knotsData[] = {0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.3f, 0.3f, 0.5f, 0.7f, 0.7f, 0.7f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f};
    for (int i = 0; i < nurbs.nKnots(); i++)
        nurbs.knots()[i] = knotsData[i];
    for (int i = 0; i < nurbs.nCtrlp(); i++) {
        nurbs.ctrlp()[2*i+0] = 0.0f + i;
        float x = 1.0f - i / float(nurbs.nCtrlp());
        nurbs.ctrlp()[2*i+1] = x * x * x;
    }
    ts_bspline_print(nurbs.data());

    //insert knots into B-spline so that it becomes a sequence of bezier curves
    TsBSpline beziers = nurbs;
    beziers.toBeziers();
    ts_bspline_print(beziers.data());

    //check that the library does not fail us
    for (int i = 0; i < 10000; i++) {
        float t = float(rand()) / RAND_MAX;
        float *pRes1 = nurbs(t).result();
        float *pRes2 = beziers(t).result();
        float diff = hypotf(pRes1[0] - pRes2[0], pRes1[1] - pRes2[1]);
        if (diff >= 1e-6f)
            printf("Bad eval at %f: err = %f  (%f;%f) vs (%f;%f)\n", t, diff, pRes1[0], pRes1[1], pRes2[0], pRes2[1]);
    }

    //extract bezier curves
    assert(beziers.nCtrlp() % nurbs.order() == 0);
    int n = beziers.nCtrlp() / nurbs.order();
    int sz = nurbs.order() * 2; //floats per bezier
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        float *begin = beziers.ctrlp() + sz * i;
        float *end = beziers.ctrlp() + sz * (i + 1);
        //[begin..end) contains control points of i-th bezier curve
    }

    return 0;
}

最后的笔记

上面的大多数文本都假设您的NURBS曲线已被钳位，这意味着最小和最大结的多重性为D + 1。有时也使用非钳制的NURBS曲线。如果遇到一个，您可能还需要使用库的适当功能对其进行钳位。刚好在NURBS上方使用了来自tinyspline的tobeziers方法，您无需手动进行夹紧。