c++ - Visual C++ 2012 中的正弦计算不一致？

Question

考虑以下代码:

// Filename fputest.cpp

#include <cmath>
#include <cstdio>

int main()
{
    double x;
    *(__int64 *) &x = 0xc01448ec3aaa278di64; // -5.0712136427263319
    double sine1 = sin(x);
    printf("%016llX\n", sine1);
    double sine2;
    __asm {
    fld x
    fsin
    fstp sine2
    }
    printf("%016llX\n", sine2);
    return 0;
}

当使用 Visual C++ 2012 (cl fputest.cpp) 编译并执行程序时，输出如下:

3FEDF640D8D36174
3FEDF640D8D36175

问题:

• 为什么这两个值不同？
• 是否可以发布一些编译器选项，以便计算出的正弦值完全相同？

Answer 1

这个问题不是long double转double引起的。这可能是由于数学库中的 sin 例程不准确。

fsin 指令被指定为其范围内的操作数生成 1 ULP(长 double 格式)内的结果(根据 Intel 64 和 IA-32 架构软件开发人员手册，2011 年 10 月，第 1 卷，8.3.10)，采用四舍五入模式。在 Intel Core i7 上，提问者的值的 fsin −5.07121364272633190495298549649305641651153564453125 或 -0x1.448ec3aaa278dp+2 生成 0xe.fb206c69b0ba402p-4。从这个十六进制我们可以很容易地看出最后11位是100 0000 0010。这些是long double转换时要四舍五入的位。如果它们大于 100 0000 0000，则数字将向上舍入。他们更大。因此，将这个 long double 值转换为 double 的结果是 0xe.fb206c69b0ba8p-4，等于 0x1.df640d8d36175p-1 和 0.93631021832247418590355891865328885614871978759765625。另请注意，即使结果低一个 ULP，最后 11 位仍会大于 100 0000 0000，并且仍会向上舍入。因此，此结果在符合上述文档的 Intel CPU 上应该不会有所不同。

将此与直接计算 double 正弦进行比较，使用产生正确舍入结果的理想 sin 例程。 The sine of the value is approximately 0.93631021832247413051857150785044253634581268961333520518023697738674775240815140702992025520721336793516756640679315765619707343171517531053811196321335899848286682535203710849065933755262347468763562 (computed with Maple 10).最接近它的是 0x1.df640d8d36175p-1。这与我们通过将 fsin 结果转换为 double 获得的值相同。

因此，差异不是由 long double 转换为 double 造成的；将 long double fsin 结果转换为 double 产生的结果与理想的 double sin 例程完全相同。

我们没有关于提问者的 Visual Studio 包使用的 sin 例程的准确性的规范。在商业图书馆中，允许 1 个 ULP 或几个 ULP 的错误是很常见的。观察正弦与 double 值四舍五入点的接近程度:它与 double 值相距 .498864 ULP( double ULP)，因此与四舍五入变化的点相距 .001136 ULP。因此，即使 sin 例程中出现非常轻微的错误，也会导致它返回 0x1.df640d8d36174p-1 而不是更接近的 0x1.df640d8d36175p-1。

因此，我推测差异的来源是 sin 例程中的一个非常小的错误。